技术

为什么不单独用徒手透视来绘制主要形式呢？因为，正如我们在 2PP 中已经看到的，消失点放置不准确会导致透视图扭曲；即使是很小的扭曲在完成的绘图中也可能很明显。有一个更好的办法。

首先，在一张相当大的纸的中心绘制徒手透视草图或按比例缩小的透视图（一卷包装纸或白色屠夫纸的 3 英尺部分是理想的）。

三点透视：初级形式的透视草图

您的主要形式的图画或照片应该足够小，以适合纸张上的所有透视点，但又足够大，以便能够准确地工作——通常最长边大约 10 厘米或 4 英寸的图画是实用的。

花点时间徒手绘制，并尝试尽可能准确地捕捉主要边缘角度和面的相对比例。不必担心无关的特征（例如门、窗或圆顶）：您想要捕捉沿三个方向后退的基本透视形状。一定要清楚地定义边缘和角点。

您还可以从建筑物或纪念碑的绘图或照片开始，以您想要复制的透视方向在其边缘或表面呈现清晰的消失线。这张照片仅用于指定绘图中主要形式的近似透视图，因此它不必看起来像您实际想要绘制的主要形式。

一旦绘图完成到您满意的程度，或者您将照片粘贴到纸上，您就可以从前平面的边缘绘制探查线，以找到三个消失点。使用尺子或码尺，延伸模板的外边缘，直到这些勘探线在三个单独的点相交。在立方体中，有三个边趋向于每个消失点；结合使用它们来协调差异并找到为所有三个提供最佳定义的点。

消失线三角形。接下来，用三条消失线连接这三个消失点。您已经定义了消失线三角形，它将定义（并且通常包含）主要形式。

三点透视：消失线三角形

这是查看消失点相对于主要形状及其周围空间的整体放置的点，这些空间将出现在完成的绘图中。您可以在格式轮廓中进行块，或在主要表单周围绘制其他大型表单，以确保获得所需的效果。

构建辅助地平线。接下来，绘制穿过每个消失点并垂直于相对的消失线的三条辅助水平线。有两种方法可以做到这一点。更快的方法是使用一个大的木匠尺，将一侧靠在每条消失线上，然后沿着线来回滑动，直到另一只手臂恰好位于消失点上。然后画线。

三点透视：构建辅助地平线

在大型图纸中，更准确的方法是使用一根长钓鱼线、大麻（非拉伸棉）绳或纸板条作为指南针测量来构建垂直线。用拇指、大头钉或胶带将量具的一端固定在消失点，用另一端在相反的消失线上划出一条宽铅笔弧。（将铅笔尖穿过绳子上的环或纸板条上的小孔。）弧必须在两个相距较远的点处与消失线相交。然后以这些新点中的每一个为中心划出两条相交的弧，或者用尺子测量它们之间距离的 1/2。

在图中，两条圆弧围绕vp ₁和vp ₂划线，并穿过vp ₃，以定义新点X和Y。从X、Y和vp ₃绘制的相交弧创建新点P1和P2；从相应的消失点到这些点的线创建两条辅助水平线。视图方向 ( dv ) 始终位于所有三个辅助水平线的交点处，因此可以简单地从vp ₃到dv绘制第三条线到相反的消失线。您最终会得到一个类似于上图所示的消失线三角形。

我不是在其他地方说过徒手放置消失点会导致扭曲吗？不：绘图尺寸相对于消失点之间距离的笨拙缩放会导致扭曲。如果您的三个辅助地平线与其消失线成直角（垂直），如果它们在一个点（dv）相交，并且如果该点位于消失线三角形内部，则该三角形定义了一个有效的（物理上可能的）直线实体的透视空间。

构建视野。现在我们插入90° 视野圈。这需要你（1）找到三条消失线中任意一条的中点（连接两个消失点），（2）在消失线上画一个泰勒斯半圆，（3）将与该半圆相交的辅助地平线延伸到半圆消失线，（4）构造一条与消失线平行的线，最后（5）绘制第二条弧线回到这条平行线。该圆弧与平行线的交点定义了围绕dv 的90° 视场的半径。

三点透视：构建视野

在传统的解决方案中，艺术家使用尺子或相交弧的方法来找到两个消失点之间消失线上的中点M。在图中，我选择了vp ₂和vp ₃之间的消失线。当半径相等的弧从两个消失点内切于消失线时，它们在x和y两点处相交。(1) 通过这些点的线定义消失线的中点M。

(2) 从点M开始，艺术家在两个消失点之间构造一个泰勒斯半圆，然后 (3) 将与内接消失线在P处相交的辅助地平线延伸到半圆。这定义了一个新点C。（为了视觉清晰，半圆显示在透视三角形之外，但为了节省空间，也可以将其绘制为与内部辅助水平线相交。）

(4) 接下来，艺术家通过dv构造一条与消失线平行的线。

(5) 最后，艺术家从P出发，画一条半径等于PC 的圆弧，即辅助地平线的延长线段。它与平行于消失线的线在H1或H2处相交，具体取决于更方便构建圆弧的位置。

(6)线段dv-H1或dv-H2相当于90°视场的半径。艺术家从H1（H2）开始，以dv为圆心绘制了这个圆。

包含 60° 视野圈通常很有用，它是半径等于 90° 视野圈半径的 0.58 (58%) 的第二个圆。这样就完成了透视空间。  

定位测量点。最后一步是定位测量点。如果沿着消失线标记它们，则需要六个，但如果将它们定位在辅助地平线上，则只需要三个。

辅助地平线测量点。要找到辅助地平线上的测量点，请使用量角器或建筑师的三角形（或构建垂线的传统方法）在每条辅助地平线上构建从dv到视圈的终点垂线：与圆的交点视图定义了三个新点：C1、C2和C3。使用辅助水平线上的消失点作为弧的中心，从每个C点绘制弧回到垂直于它的辅助水平线。

三点透视：寻找测量点

这样就完成了缩小比例的透视空间。我发现整个过程，从一张白纸开始，到完成的透视空间结束，大约需要 20 分钟才能完成。一旦你了解了如何去做，工作就会快速而顺利地进行。

您必须在此绘图上仔细进行七次测量（使用公制标尺），以将其重新缩放为完整尺寸：(1) 任意两个消失点之间的最长距离（在示例中为 vp 3 到 vp 2 ）_， ( 2 ₎距离从这些消失点之一到与辅助水平线的交点（vp ₃到h），(3) 该辅助水平线的长度（h到vp ₁），(4) 到视图方向的长度（h到dv )，最后 (5-7) dv到三个测量点中每一个的距离。

将全尺寸绘图中所需的视野半径（例如 160 厘米）除以透视草图中的视野半径：将所有测量值乘以该数字。这为您提供了全尺寸的透视空间。您的透视工作表面需要至少与最长的消失线一样长，并且与 90° 视野圈一样宽。在示例图中，假设视野范围为 3m，则大约为 5m x 3m。

在足够大以容纳这些距离的表面（一张非常大的桌子，或干净的硬木或油毡地板，或干净平坦的露台，车库地板或车道）上，测量出最长的消失线（在图中，vp ₂到vp _{1 )，以及}vp ₃的辅助地平线。连接三个消失点以定义消失线三角形。测量消失线到dv 的距离，并从消失点到dv绘制剩余的两条辅助水平线。最后，在每条辅助地平线上标记三个mp ，从dv测量。

使用距离尺寸表中显示的绘图比例来计算绘图比例- 主要形式的绘图应具有的实际对象尺寸（对于给定的观看距离）的百分比。在一张纸上，按此尺寸绘制主要形状的粗略草图，并将草图放在您打算使用的格式（支撑尺寸）上，以确保比例有效。  

消失线测量点。使用三个测量点的 3PP 方法很方便，但当测量锚点靠近视图方向 ( dv ) 时，该方法会失败。在这种情况下，您可能需要使用消失线点。

视场的构造需要围绕其中一条消失线绘制一个泰勒斯半圆，以M为中心并与消失线两端的消失点相交，然后延伸辅助地平线以与半圆相交于点h '。这就是定义消失线上的测量点所需的全部内容。（请注意，您可以通过与透视三角形内部的辅助水平线相交来定义内部 h'并从那里构造测量点，从而节省步骤和工作空间。）

三点透视：定义测量点的替代方法

h'点始终与消失线上的两个消失点形成 90° 角。即，相当于消失点2PP旋转中的视点。因此，您可以从该点绘制两条弧回到消失线，使用每个消失点作为弧的中心，来定义消失线的测量点 - 就像在两点透视中一样。

关于消失线测量点选择的混乱通常可以通过以下两个标准来消除：

• 控制消失点是由测量条调整大小的边缘收敛的消失点。因此，会聚到右侧消失点( vp ₂ )的边缘由该消失点控制。

• 要使用的测量点由控制消失点的弧定义。因此，mp ₄由以vp ₂为中心的圆弧定义，因此mp ₄是在调整后退到该消失点的边缘尺寸时使用的测量点。高度尺寸由垂直消失点 ( vp ₃ ) 控制，该消失点是用于定义mp ₃的弧的中心。

消失线测量点的测量条必须始终平行于包含正在使用的测量点的消失线，而不是像以前那样平行于任何辅助水平线。请注意，每个维度始终有两个可用的测量点。在示例中，如果由于某种原因mp ₃不方便使用，则mp ₆可用于调整后退到vp _{3的垂直边缘的大小 - 但在这种情况下，测量条必须平行于包含}mp ₆的消失线。

图中的测量条与之前使用的测量条的长度相同，正如您所看到的，它们定义了相同的透视深度减少量。您无需重新调整或重新计算已有的度量栏；只需将它们与适当的消失线平行对齐即可。

因为M上的半圆是视域程序的一部分，并且任何消失线都可以用来定义视域，所以您应该考虑锚点在透视空间中的位置，并将泰勒斯半圆放置在测量点最方便的消失线。

例如：我最初将锚点放在立方体的前底角；在该位置，MP ₃工作正常，但其他两个点产生了严重倾斜的测量线，从而导致不准确。最好的替代点可以在顶部消失线上（在vp ₁和vp ₂之间）找到，所以我应该通过将第一个半圆放在那一侧来开始构建视圈。  

构造3PP立方体
（透视草图法）

一旦构建了 3PP 空间，您就可以开始构建立方体或初级形式。该解释排除了缩放绘图所必需的过程，这些过程将在下面展开。

三点透视：定位主要形式

测量透视绘图表面（地板、车道、庭院）上的透视空间，并将支撑物用胶带或钉子固定在表面上，使其顶部边缘平行于消失线之一（或不平行，如果透视图为倾斜），并将dv放置在绘图中的正确位置。如果您不想直接在水彩纸上工作，请在一大张屠夫纸或包装纸上重建绘图，然后在完成后将绘图描画或调整为格式。

标记dv并绘制辅助水平线、测量点、锚点以及通过锚点的基本消失线。

该图显示了在 40" x 60" 的皇帝纸上完成的操作，dv位于底部附近。（如果您要解决所有这些麻烦，您不妨让这幅画变得壮观！）为了清楚起见，在接下来的几幅插图中省略了支撑轮廓，尽管假设您正在使用支撑进行工作。

三点透视：构建测量条

最后一个准备步骤是构建测量栏。从空间中心 ( dv ) 执行此操作，因为每个测量条必须与其相应的辅助水平线平行。最简单的方法是在另一张纸上直接在辅助地平线上绘制测量条。

将测量条绘制到它们在空间中的透视长度，以便您可以将它们的一端与锚点对齐。测量条的长度决定了主要形状的绘图尺寸，因此您希望它们是准确的。例如，如果建筑物的尺寸为 150 英尺长、75 英尺宽和 36 英尺高，并且您使用建筑物的长度来缩放绘图尺寸，则测量条之间的比例为 1.00 到 0.50 和 1.00 到 0.50。 0.24。由于我们正在绘制一个立方体，因此所有三个测量条的长度都相等，因此我们通过围绕dv绘制一个圆来定义它们（如上所示）。

三点透视：构建正面垂直

剩下的就是小菜一碟了。首先，将垂直测量条与垂直辅助地平线平行对齐，底端位于锚点上。从mp ₃穿过测量栏的顶端到垂直消失线（即与您正在使用的测量栏平行的线）画一条线。这定义了立方体的正面高度。

使用与底部消失点对齐的码尺、绳子或纸板条，从锚点到从垂直测量条到mp ₃的线绘制一条线。这是正面垂直线。使用码尺、绳子或纸板条将垂直线的两端连接到两侧消失点，并绘制表格的前顶部和底部边缘。

三点透视：构建左侧

接下来，使用第二个测量条定义一侧的深度尺寸（到mp ₁，即与您正在使用的测量条平行的辅助水平线上的测量点）。当测量条的一端与锚点对齐时，立方体的后角位于从测量条的另一端到mp ₁的线与图窗左下边缘相交的位置。标记这一点。

再次将直边与vp ₃对齐，从该点到左上角边缘线画一条线：这是立方体的后垂直线。沿着消失线将该垂直线的两端连接到vp ₂。这些线定义了图的左后上边缘和下边缘。

三点透视：构建右侧

使用第三个测量条，构建相对侧，定义角，并像以前一样连接到消失点。

尽可能多地清理绘图，以目视确认最终的透视轮廓符合您的期望。然后继续在主要形式周围的环境中添加任何其他对象，或在其表面上添加透视细节（门、窗等）。

三点透视：透视扭曲

熟悉3PP机制将有助于您了解如何有效地使用它。上图给出了有关表单的比例、位置和裁剪的一些线索：

• 一般来说，朝向侧面消失点的扭曲比朝向底部消失点的扭曲更令人反感：只要可行，请选择垂直或方形格式。

• 表格可以放置在90° 边框下方（与两侧消失点（红线）相交的90° 角），以强调高度或垂直比例，但表格不应放置在两侧边框附近。（该边界的直角角的所有可能位置均由在地平线下方构造的泰勒斯圆定义。）

• 应用相同的视图圆规则来减少透视扭曲，但圆可以从视图方向向下移动，就好像垂直深度将其从地平线拉开一样。最好用以主点为中心并从 90° 边界下方延伸到地平线上方的视柱来思考（其中透视中的云层可以增强距离深度以平衡垂直深度）。任何适合 40° 到 60° 列的格式都会产生漂亮的图像。

完成透视元素后，小心地将绘图表面从桌子、地板或露台上释放出来，并将其放在绘画表面上，以擦除辅助线、测量点和其他无关元素，或将透视轮廓转移到实际的绘画表面。当绘图完全清理干净后，在开始绘画之前徒手添加必要的任何其他轮廓或指南。

三点透视：成品图

该图显示了完成的透视形式，再次采用巨大的 40"x60" 皇帝格式。在这个简化的图中，主要形式与原始透视草图相比几乎没有变化。但在实践中，尽管投入了所有的工作，与仅通过徒手方法管理的任何内容相比，您会对完成的绘图的透视精度和“重量”的提高感到非常满意。 

地平线构造法

透视草图方法的两个重要问题是，它通过草图大致确定了主要形式与视点的角度，并且它使 3PP 方法摆脱了在视野范围内缩放绘图的过程。实际的视角和视野范围是从图纸中得出的，而不是一开始就给定的。另一种方法是从视野开始，然后从那里构建消失点。该方法首先指定地平线（视线方向上方或下方的水平消失线）的位置，因此我将其称为3PP 构造的地平线方法，尽管视野圆方法也很合适。

对 3PP 几何结构的讨论将阐明该方法的工作原理。由于所有平行线都会汇聚到同一（单个）消失点（透视规则 6），并且 3PP 消失点定义彼此成直角的视线，因此 3PP 消失点等效地由立方体的三个直角边定义可以围绕固定在视图方向上的前角转动或旋转（右图）。

这些边会聚到由立方体的三个正面定义的三个平面的消失线处的三个直角消失点（透视规则14）。因此，消失点对之间的消失线将平行于该立方体的三个正面与图像平面的线交点（绿色，透视规则 11 的推论）。因此，我们将 3PP 消失点的几何形状简化为以任意角度和旋转穿过图像平面的三面金字塔推力的几何形状。

如前所述，视场框架提供了一种方法，可以精确指定任何消失点的位置，即围绕折叠到图像平面的视点旋转到所需角度的线。我们需要的是一种对 3PP“金字塔”的元素执行这种折叠的方法。

这是通过向前移动立方体的固定角直到它与视点重合来完成的。在该位置，其三个边缘定义了到消失点的三条视线（洋红色线，右上图）。更重要的是：金字塔的高度现在等于观看距离，因此等于 90° 视野圈的半径（见下图）。 

将金字塔直角三角形折叠到图像平面中

在此 3PP 几何结构中可以进行两种折叠操作。首先是辅助线折叠，它们定义棱锥边缘或垂直于棱锥边缘的棱锥面与观察方向之间的内角。这些是通过将辅助水平线定义的金字塔的垂直部分折叠到图像平面中来找到的，例如上图中由辅助水平线PC定义的内部三角形PVC 。该三角形包含两个三角形VdvC和VdvP ，每个三角形在dv处包含一个直角。折叠将线Vdv引入图像平面作为x'dv。由于边Cdv与边Pdv连续，因此保留dv处的直角。图像边缘Cx' = CV和Px' = PV。因此，根据三角形等式，像角1'等于内角1 ，即观察方向与面部ABV之间的角度。

这种折叠还标识了（在Cx'dv处）消失点C和视角方向之间的角度，因此透视金字塔内部部分的这种向下折叠在几何上与将视点折叠到视野圈中相同，即用于将消失点旋转到视图方向。

第二种折叠操作是消失线折叠，其将透视金字塔的一个面的外角（角度2）定义为图像平面中的角度（角度2'）的“平面图”。这是 3PP 金字塔面上三角形ABV的边与其高度PV之间的角度。折叠是通过构造一条线 ( ab ) 来实现的，该线与平行于消失线( AB )的观察方向相交。这条线与视场在x'处相交。因为Vdv等于x'dv，所以线Px'等于PV线、 ABV的高度。因此，在P上构建的半径为Px' 的圆弧与辅助地平线相交于x，且Px = PV。因此，直角三角形ABx是透视三角形ABV的垂直视图，x是水平线AB的辅助视点。

由 3PP 金字塔折叠出的三个直角三角形

上图显示了由 3PP 消失线三角形构造的三种可能的消失线折叠和辅助视点（ x、y和z ）。仔细研究该图，直到您了解每次折叠是如何完成的。

三角形的几何结构是高效的：用其两个相邻角定义任何一侧，或用它们的公角定义任意两条边，即可定义三角形的其余部分。因此，定义 3PP 消失线三角形的图像只需要两次折叠操作：一次辅助水平线折叠和一次消失线折叠。这足以定义所有三个消失点和消失线相对于视野方向和视野圈的位置。

最后，3PP 结构将视线方向从其与地平面平行的位置释放出来，这在透视几何中产生了几个新特征，尤其影响了 3PP 绘图的缩放比例。现在我只想描述这个几何形状并定义一些新术语（如下图）。 

3PP 几何结构的立面图

在这个例子中，我们假设透视图相对于地平面是向下的：它也可以是向上的（就像从地面看摩天大楼的顶部）或倾斜的（就像从转弯的飞机上看城市），我留给读者的问题。在向下视图的情况下：

•图像平面与地平面倾斜，观察方向也是如此。因此，视线方向不会终止于消失点，而是终止于固定点，即地面上的某个物理点。该注视距离通常不同于从站点到主要形状的物体距离。

• 站点S仍然在视点正下方，但现在站点点出现在图像平面上，它是图像s相当于垂直消失点( vp ₁ )。

• 地平线现在位于视野圈中的视线方向上方，这意味着主点，即观看者中央后退的消失点（在p处），不再与正交消失点（在h处）相同。），地平面衰退的消失点。 

• 主要形式出现在旋转透视中——垂直和水平尺寸具有不同的比例。通过使用测量点来校正透视缩短；平行于图像平面的测量条可以在图像平面中旋转至任何其他角度。然而，有时估计垂直缩短量很有用，例如在规划图像布局时。这是通过对透视进行余弦校正来发现的：

其中θ是地平角。由于地平面的视角仅等于注视点处的水平角，因此必须使用地平面上该点的正确视角来计算在任何其他点建立的测量条。

• 物体的角度大小或图像大小由距视点的视线距离决定，即由物体距离和观看高度形成的直角三角形的斜边。

需要理解这些要点，以便在 3PP 结构中 缩放绘图时应用正确的距离和尺寸计算。 

构建 3PP 绘图
（地平线法）

地平线方法建立在这样的假设之上：大多数三维透视问题涉及视线与地平面不平行的观看者。观看者要么向上看，看向塔、建筑物、山或悬崖的顶部；要么观看者向上看。或者观看者从塔、建筑物、山或悬崖顶部的有利位置向下看。 

近似地平线法。在这种方法中，艺术家通过判断或突发奇想来放置地平线和消失点，但使用金字塔折叠来使这些地标彼此一致。

第一步是相对于主点放置地平线：上方（对于向下的视图方向）​​或下方（对于向上的视图方向）​​。然后，艺术家使用绘图三角形，在对角线消失点之一处找到 90° 角，并将这条线延伸直至与视野下方的中线相交：这是垂直消失点 ( vp 1 ₎。 

三点透视：旋转地平线

将这个角度平分以找到对角视图（与地平线或vp ₁视线成 45°）非常有用，因为这会深度投影地平面上方的观看高度。

接下来，第二个消失点 ( vp ₂ ) 位于中线左侧某处的地平线上。从dv到这一点放置的标尺将显示透视空间中立方体在观察方向上的观察角度。 

三点透视：大约放置vp ₂

完成点的定位后，在两个消失点之间绘制消失线。然后，您必须从这条消失线穿过视图方向 ( dv ) 构造一条垂直线，如此处所述。

步骤是： (1) 围绕dv 画一条圆弧，与消失线在两个相距很远的点a和b处相交；(2) 从每个点开始画一条圆弧，其半径大于两点之间线段长度的一半；(3) 通过圆弧的双交点画一条直线来定义法线点c；(4) 从c到dv画一条直线，直至与视圈另一侧的地平线相交。这是构造消失线的辅助地平线；它位于vp ₃。 

三点透视：完成的“近似”透视三角形

构造第三条消失线及其从vp ₂到dv的辅助水平线。

在辅助地平线上找到内部或外部高度点，并从中找到消失线上的六个测量点。（上图显示了一个内部高度点h'以及由它构造的两个测量点。） 这样就完成了三点透视三角形。 

精确地平线法。在某些情况下（如下所示），需要精确定位三个消失点。在这种情况下，使用量角器或使用所需角度的正切比（应用于垂直于视点的视场半径长度）来精确定义金字塔折叠。

需要沿垂直辅助地平线（中线）折叠一条辅助地平线，以确定地平线的倾斜度和垂直消失点（ vp ₁ ）的位置，并沿地平线折叠一条消失线，以确定地平线的倾斜度和垂直消失点（ vp 1 ）的位置。 vp ₂和vp ₂的左/右放置。

下图显示了这些操作，以提供与地平面精确的 25° 向下视角（向上水平角 25°），并将vp ₂放置在中线左侧 55°。这会将vp ₃置于中线右侧 35° 处。 

三点透视：消失点的精确旋转

像以前一样添加消失线；辅助消失线可以直接画出来，即从消失点经过dv到对面消失线的线，因为消失点已经被精确定位了。

已使用上述“替代”水平线方法添加了测量点。 

三点透视：完成的“精确”透视三角形

虽然这个 3PP 三角形与根据正确角度的近似判断构建的三角形非常相似，但这里所有的透视标志都是根据预先建立的给定值精确放置的。当目标是从特定位置对特定主要形式进行 3PP 视图时（这在建筑效果图或历史重建中很常见）或者需要对图像中的关键形式进行某种排列时，这一点尤其重要。

对角消失点。采取额外的步骤并在地平线上建立对角消失点通常非常有用。完成此操作后，可以使用从对角消失点深度投影单位尺寸的方法将车站线上的单位尺寸投影到地平面上。 

三点视角：定位中心 DVP

事实上，不需要单独旋转来定义辅助视点的对角消失点：它们已经位于用于定义辅助视点的弧与地平线的交点处（上图）。为了证实这一点，简单地示出了围绕辅助视点A旋转对角消失点，使得 90° 角被垂直辅助地平线（中线）平分的方法。

一旦这些对角消失点建立起来，ovp就作为正交消失点，平行于地平面的深度后退的收敛（地平面中心后退）；但dv仍然是主要点，衰退的收敛性与观看方向平行（观看者的中央衰退）。与ovp正交的横截面深度通过dvp ₁和dvp ₂的对角线找到；与dv正交的横截面的深度是通过到视圈上点的消失线找到的。 

缩放 3PP 绘图。这项任务比从一两点的角度来看更复杂，但我在这里概述它，因为我还没有在任何其他来源中看到它的讨论。需要尽量减少对三角学的依赖，既可以验证基本原理，也可以为复杂的构造问题提供计算捷径或补救措施。

施工方法。三种绘图比例指南已经可用：（1）视野以及可以在其中计算的许多视角；(2)深度观察高度，在旋转地平线时添加；(3)地线标尺，与正交消失点( ovp )结合使用，在深度上投影单位尺寸，以近似定位深度物体并缩放其图像尺寸。如果图像比例和透视精度不是至关重要，那么这些几乎总是足以缩放 3PP 绘图。 

三点透视：地平面衰退

可以使用两种缩放方法。在第一个示例（上图）中，沿站点线图像测量的 50 厘米任意单位尺寸通过绘制到正交消失点 ( ovp ) 的正交投影到透视空间中。这些表明深度观看高度约为观看高度（从站线测量）的 7.2 倍，并且注视点距离约 16 个单位。

将观看高度除以深度单位即可得出单位尺寸的地平面宽度。如果观看高度为 300 米，则单位尺寸约为 300/7.2 = 42 米，注视点距站线约 672 米——所有距离都是在地平面上测量的，而不是沿视线测量的。如果观看高度为 3 英尺，则单位尺寸表示 36/7.2 = 5 英寸，固定点距离为 80 英寸。

正交定义了任意深度的单位尺寸；在主要形状底部建立的横向线在该距离处创建了单位尺寸的测量条。在上图中，固定点处显示了一个长度为 3 个单位尺寸的测量条。如果观看高度为 300 米，则测量条在距离 672 米处定义宽度为 126 米。该图像条用于测量沿基础横截面及其上方的主要形状图像的尺寸。 

三点透视：关键缩放维度

第二种方法是建立精确的单位尺寸。这是通过以下方法完成的：(1) 从dvp之一穿过深度观察高度( vhd ) 绘制一条线，并延伸这条线直到与车站线图像相交，然后 (2) 除以从此交点到车站点的距离( vp ₁ ) 适当数量的单位。在示例中，此过程产生 354 厘米的车站线长度，可以方便地分为六个 59 厘米的单元。如果观看高度为 270 米，则该单位尺寸正好代表地平面上的 45 米。

正如在 1PP 上下文中缩放绘图的讨论中所解释的，格式的位置要求艺术家决定主要形式图像的适当尺寸和位置。主要的缩放限制是地平线规则：地平线与所有形状相交的高度高于其与地平面的交点，该高度等于观看高度，或者导致形状出现在地平线下方，增加的比例为他们的总高度。按照中心透视的解释程序，艺术家找到了比例在观看高度和物体高度之间，然后放置物体，使地平线按此比例划分或位于物体图像上方。无论视角方向与地平面的角度如何，该规则都成立。

在我将开发的示例中，我想要渲染一个高 300 米、宽 125 米的主要形状。我希望形状的上部切割地平线，以便其顶部在天空的衬托下呈现出轮廓。因此，我计划大约30米的形状出现在地平线以上，其余270米出现在地平线以下。这意味着观看高度也将是270米（根据地平线高度规则），并且30/300或10%的初级形式图像将在地平线以上。

为了最大限度地减少透视失真并创建主要形式的“长视图”图像，我决定使用固定点作为锚点。第 13 个单位横向线位于注视线（橙色）后面，这表明物距（在地平面上）小于 585 米。现在，水平单位尺寸可以直接从沿该横截面的正交线导出，然后旋转 90° 以提供垂直图像尺寸。然后可以在视野范围内（绿色矩形）定义初级形状的近似图像区域。

最后，格式尺寸围绕主要表单区域、水平线、视图方向或任何其他重要的构图元素进行定位。这可以首先完成，并且将主要形式安装到格式内，或者在主要形式位于视圈内之后完成。（无论哪种方式，格式尺寸都是按照视野半径的比例确定的，如此处所述。）考虑到我的视角和主要形式的巨大尺寸，我决定使用大格式。下面显示的示例是 29 英寸 x 42 英寸（74 厘米 x 107 厘米）双象（美国）格式，采用“纵向”方向，位置适合水平线（黄色矩形）上方和下方的主要形状。

评论：如果将前两张图中的透视渐变与中心透视中的透视渐变进行比较，3PP 中的衰退显得更加温和——视野圈底部的方块在 3PP 中仍然是垂直拉长的，但水平拉长了在 1PP 中。这是因为以更倾斜的角度观察地平面，因此缩短得更少（在站点或vp ₁处，视图垂直于地平面，如鞋印所示）。但在深度观察高度位置上方的视觉区域中，两个梯度变得等效。

计算方法。另一种缩放方法使用计算而不是近似构造。这种方法更加精确和稳健。下图标识了与图像平面的立面视图和来自视点的视线以及透视图中出现的图像平面相关的关键缩放术语。 

三点透视：关键缩放维度

vp  = 观看距离；vs  = 站线距离；hvp  = 水平角；h  = 正交消失点（地平线）；p  = 主点（注视线）；z  = 深度观察高度；s  = 图像站点（站线图像）；hp  = 地平线高度；hs  = 地面像高；Hz  = 图像深度

这些计算所需的唯一准备工作是指定 (1) 观看高度、(2) 垂直于图像平面的观看距离和 (3) 水平角。继续上面的例子，我将观看高度设置为 270 米，观看距离为 1.5 m（150 cm），水平角为 25°。

此外，您还需要一个袖珍计算器，可以提供任何水平角的三个三角函数（正弦、余弦和正切） 。在示例中，水平角为 25°，因此：

正弦(25°) = 0.423
余弦(25°) = 0.906
正切(25°) = 0.466

格式尺寸。此处解释了建立格式尺寸的过程。如果可以提前决定适当的格式大小，那么首先执行此操作很有用，因为这为其他缩放决策提供了参考框架。我将继续上面说明的双象示例。

地面规模。第二步，建立地面比例尺，即站线S在像平面上s处的比例尺（参见上图）：

• 地平线的“水平线”作用由穿过观察方向并平行于其上方或下方的地平线的固定线承担。这定义了平行于观察方向和地平线的所有平面的消失线（透视规则 15），以及“实际尺寸”图像比例（在 150 厘米的观看距离处，沿着注视点的观察半径圆）线为 150 厘米）。

•水平高度，即在图像平面上测量的注视线上方水平线的距离，等于观看距离乘以水平角θ的正切。25°水平角的正切值为0.466，因此水平线在视线方向上方150厘米*0.466 = 70厘米。

•车站线图像正好位于视点v下方的点s处，该点定义了直角三角形vps（因为视图方向垂直于图像平面）。因此，站线距离（视点下方图像平面的距离，或vs）是直角三角形vps的斜边。这等于观看距离除以水平角的正弦，即 150 厘米/0.423 = 355 厘米。

•地面图像高度是地平线和站点线图像之间的图像平面的范围，或直角三角形hvs的斜边。计算公式为：站线距离除以水平角的余弦：355 厘米/0.906 = 392 厘米。

• 测站线图像位于注视线下方，图像平面上的距离等于ps，或地面图像高度 ( hs ) 减去地平线高度 ( hp )：392 cm – 70 cm = 322 cm。  

• 最后，公式5给出了车站线路比例尺的图像比例。若观看高度为270米，站线距离为355 cm，则站线图像比例为3.55 m/270cm = 1.31%；或者等效地，站线中 1 厘米的单位尺寸等于地平面上的 270/3.55 = 76 厘米。要获取地平面中的 45 米单位尺寸作为测站线处图像平面的单位： 45*0.0131 m = 测站线中的 59 cm 单位尺寸。这是地面比例，总结为以下公式：

其中，地面单位为方便在地平面上绘制物体的测量单位（例如1米或100米），视距、站线距离和视高均采用相同的单位测量。

• 最后，对角线消失点可用于投影深度上的地面比例单位尺寸。从上图可以看出，将45米单位尺寸投影到深度所建立的270米线，与地平面旋转投影到深度的观看高度的位置完全重合。

固定线刻度。第三步也是最后一步是确定地平面上距站线距离X处的物体在图像平面上的图像深度z ，或者确定图像平面上特定图像深度z的地平面上的物体距离X。这些关系由以下公式定义： 

三点透视：锚点和锚线

图像平面从图像站线 ( s ) 延伸到地平线 ( h )，定义地平线高度( sh )。该图像平面可以由辅助图像平面Sx复制，在其前面一定距离并与之平行。次平面与地平线相交于x处，与视点V相距偏移距离 O，并与地平面相交于站线 ( S ) ，该站线与视点的水平距离为零。这些交点与图像点h和s相同，因此地平线高度sh是物距（在地平面上）为零时物理距离Sx的图像。

将次平面向前移动物距X会将地面交点重新定位到S' ，并将地平线交点重新定位在x'处，因此S'x'的图像现在为zh — 图像点z位于图像深度( zh）在地平线以下。在这个新的排列中，三角形比例定义了比例相等：

zh/sh = xV/x'V = OD/(X+OD)

通过代数重排求解 (16) 图像深度 ( zh ) 或 (17) 地平面物距 ( X )。

使用这些公式，我们确定（水平角为 25°、观看高度为 270 m、观看距离为 1.5 m）：

(8)格式比例尺= 25%(W), 36%(H)
(11) 水平高度 = 70 厘米
(11) 站线距离 = 355 厘米
(13) 地面比例尺：66 厘米 = 50 米
(14) 偏移距离= 126 m
(15) 地面图像高度 = 392 cm
(16) 图像深度（注视线） = 70 cm
(16) 图像深度（视距深度） = 125 cm
(16) 图像深度（格式基线 @ 500 m ) = 79 cm
(17) 物距（注视线处）= 579 m。

锚线和锚点。假设固定点作为锚点，在 270 米的观看高度处，地平面物距为 579 米，即到主要形状底部的对角线物距为 639 米。因此注视线尺度（由公式 5导出）为：

(18) 图像比例（注视线处）= 1.5/[579 ² +270 ² ] ^1/2
= 1.5/639 m
= 0.00235 (0.235%)

要从图像平面单位转换为地平面单位（在注视线上），请除以图像比例因子：

1 厘米 = 1 厘米/0.00235 = 4.26 m。

要从地平面单位转换为图像平面单位，请乘以图像比例因子。因此，一个宽 125 米、高 301 米、平行于图像平面的物体创建了图像尺寸

125 m*0.00235 = 0.294 m = 29.4 cm
301 m*0.00235 = 0.707 m = 70.7 cm。

这些是锚点（建立为固定点）处图像的测量条尺寸，如下图所示。 

三点透视：锚点和锚线

关于消失线测量点的选择和测量条的方向（对于立方体形式）的混淆通常可以通过以下三个标准来消除：

• 用于任何边缘的测量点是由控制消失点的弧定义的测量点。因此，高度尺寸由垂直消失点( vp ₁ )控制，该消失点是用于定义mp ₂和mp ₅的弧的中心。

• 控制消失点是由测量条调整大小的边缘收敛的消失点。因此，地平面中平面图的左侧边缘由左侧地平线消失点定义。

• 测量条始终平行于包含测量点的消失线。

由立方体的三个边定义的 3PP 消失点

有了主要形式的平面图和立面图（右图），艺术家就准备好构建透视图了。 

三点透视：构建初级形式

为了清晰起见，图放大至 60° 视野

首先确定绘图的平面图或“街道地图”尺寸通常很方便，因为平面图轮廓不会彼此相交，并且可以清楚地确定大表格的前后顺序。由于底座是正方形，因此此处仅从立面图构建绘图。为了清晰起见，仅显示 60° 视野。

使用测量点指南（上面），塔底座右侧的控制消失点是vp ₃；这个消失点定义了mp ₃的弧线（参见上图）。塔高度的控制消失点是垂直消失点vp ₁；这个消失点定义了mp ₂的弧。

固定线测量条用于建立125米的基础宽度，并且该尺寸通过线在深度上投影到相对的测量点mp ₃和mp ₄。测量条与包含测量点的消失线平行，然后从锚点到vp ₂和vp ₃的消失线建立平面的边。

塔的四个侧面是对称的，但侧面不是垂直的：它们定义了一个指数函数，旨在最大限度地提高塔的抗强风强度。为了便于透视构建，我们必须找到中心轴，它只是平面对角线的交点。 

三点透视：成品图

为了清晰起见，图放大至 60° 视野

塔的主要阶段在垂直测量条上标出，该条旋转至与适当测量点的消失线平行，并且塔的阶段投影到垂直轴上。

有两种策略可供选择。现有的立面图可用于创建测量栏：该图采用由注视线上的锚点定义的图像比例，距视点 579 米。高程点投影到从锚点构建的垂直线上。这些标高点是新正方形的前角，其大小与塔的底座相同，包含塔平台。这些建筑采用“脚手架风格”，由平面四个角的垂直线构成。在每一层，脚手架方块都从前角凹进到侧面消失点，对角线和以前一样。然后在这个正方形内构建塔平台的平面图，其四个角沿对角线。

另一种方法是将标高点投影到中心轴上，并将塔平台从这些中心点投影出来。该方法也如图所示：测量杆必须固定在中心轴的底部。但请注意，该点距视点的距离比前角远 80 米以上（如平面图中 50 米距离横线所示），因此必须使用公式 18 将测量条的大小调整为新的图像距离。首先，从整个对角线导出添加的距离，然后通过余弦校正将其与视图方向对齐：

基本对角线 = [125 ² +125 ² ] ^1/2 = 177 m
半对角线 = 177 m/2 = 88.5 m
地平面距离 = 88.5 m * cosine(10°) = 80.2

新的地平面距离 (579+80 = 659) 用于计算新的图像比例：

(18) 图像比例(中心轴) = 1.5/[659 ² +270 ² ] ^1/2
= 1.5/712 m
= 0.00211 (0.211%)

（请注意，中心轴距离可以从其位于 650 m 横向距离线之外的位置来估计。）一旦确定了塔轮廓的主要外部点，就可以使用法式曲线或徒手绘制塔的外部曲线，并根据需要填写塔的详细信息。 

三点透视：成品图

为了清晰起见，图放大至 60° 视野

这是成品图。使用精确旋转方法的要点是，凯旋门可以精确地定位在埃菲尔铁塔后面，并且两者都相对于视线方向和地平线定位，以产生特定的效果。

远处街道的平面图取自巴黎的米其林地图，使用缩短和凹陷的正交正方形投影到地面上，并逐个广场地绘制主要街道，尽可能早地绘制。

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最后修订时间 01.I.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

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