技术

1. 构造完整的对角线、ab和匹配。

2. 从全对角线交点（正方形中心）构造与c相交的一半和从主点到d的一半正交。标记正方形边c和d 的四个交点以及相对点（黑色）。

3. 构造两个四分之一对角线，c到d并在另一侧匹配。从主点通过交点e及其孪生点构建两个四分之一正交。

4. 从四分之一正交线与完整对角线的交点（例如e）构造四分之一横截线。投影方块现在被分成十六个更小的方块。

5.从正方形的每个角到最近的四分之一线与正方形的对边的交点构建两条矩形对角线：即a到g相对，h到f相对，其他6条矩形对角线类似。

6. 在每个角附近，标记从该角开始的矩形对角线与最近的四分之一正交或四分之一横向的交点：即角a 的x和y ，对于其他三个角（黑色）也类似。

7. 最后，徒手或使用法式曲线将十二个点连接起来，形成圆。

这种方法“几乎准确”，因为点x和y稍微位于正圆之外，如图所示。然而，当工作较小或具有非常短的图形时，这是无关紧要的；或者可以画圆以稍微错过一对角引导点。 

圈子与计划。使用计划会产生稍微更准确的一组指导点，并且需要定义的指导方针也更少。下图显示了该过程。

用计划投影一个圆

从以适当的比例、位置和视角建立透视图的任何正方形开始。圆定义一个平面，并且该平面的消失线必须可用，可以作为主点和对角线消失点，也可以作为控制消失点。对角消失点仅需要定义正方形的深度。然后：

1. 在平面图（投影正方形）和图像正方形中，定义完整对角线、ab和匹配。

2. 在平面图和图像正方形中，用垂直线（平面图）或通过完整对角线的交点与主点（图像）正交的线将正方形分成一半。再次除以垂直水平线（平面图）或横向线（图像）。标记这些线与正方形、 c和d相交的四个点以及相反的点（黑色）。

3. 构造两个四分之一对角线，c到d并在另一侧匹配。从主点通过交点e及其孪生点构建两个四分之一正交。

4. 从四分之一对角线和全对角线的交点（e并匹配对边），构造一条到正方形边的水平线。它与圆相交于f并在另一侧匹配。

5. 在对边g处标记圆与完整对角线的交点。

6. 用八条垂直线，将八个点d、b、a、g、f、e匹配到投影线，然后用正交投影到主点。利用正交线与图像方形对角线的交点，识别图像圆内的点；然后使用正交和横向来重现其他角上的匹配点。

7. 最后，徒手或使用法式曲线将十二个点连接起来，形成圆。

请注意，a和b已经在图像方块中定义；d可以通过主点与图像对角线交点的正交来定位；并且可以通过从f 的投影线的对角线交点穿过圆到相对对角线的横截面，在图像正方形中找到来自e的投影线（以及匹配点）。因此，只需要四条投影线——来自f和g以及另一侧的匹配点——如图中的粉红色线所示。 

具有三角比率的圆。最后，Paolo Uccello 首先使用了一种更精确的圆投影方法，如下所述）。它基于将圆的圆周紧密划分为 32 个相等的部分，但这使得投影任务更加高效。

乌切洛投影圆的方法

1、将圆平面划分为16个等距的“辐条”；通过用一条在圆心相交的水平线和垂直线将圆分成四等分，然后将上面的两个 90° 角平分 3 次，即可找到这些圆。

2. 将17个交点带到投影线上，并与主点正交投影。

3. 标记每个正交线与图像正方形主对角线的交点（洋红色点）。从这些点构建图像正方形的 15 条横截面。

4. 找出每条横线与正方形两侧匹配正交线的点交点，以及中心正交线与正方形正面和背面的两点交点。连接这 32 个点形成一个圆。

原始平面二分法的优雅之处在于，每个投影点都代表圆周点的水平和垂直位置；艺术家只需定位投影正交线与图像正方形的主对角线的交点，然后用横截线在圆的相对两侧复制这些位置，从而创建定义圆周的 32 个点。

这些点沿着单位长度 1.0 的投影线宽度的位置是从每个“辐条”与观察方向的角度的余弦得出的。该序列列于下表以供参考。

要缩放该系列，只需乘以单位长度并从尺寸的一端开始测量。因此，要从 20 厘米宽的投影线投影一个圆，请乘以 20：则 -45° 角（辐条 #5）位于距尺寸端 2.9 厘米处。 

椭圆构造。现在透视构建中的一个重要常数是：

物理空间中的圆在图像平面上总是显示为椭圆形，除非从边缘观察。

这意味着我们可以绕过分割平面并将其投影到透视空间的整个繁琐工作：让我们直接在图像上构造椭圆！

每个椭圆都可以通过其高度和宽度尺寸来描述，称为长轴（最宽尺寸）和短轴（垂直于长轴）。这导致了两种简单的椭圆构造方法以及估计圆的透视缩短的计算。

该图（右）显示了如何从固定的高度和宽度尺寸构造椭圆。在第一种方法（A）中，高度和宽度定义一个矩形，然后用两条线将其分成相等的象限。然后，将一根内部水平线段和一根外部垂直线段分成按比例相等的部分，从而创建按比例间隔的点。（这些点不必等距，只需在两条线上的比例间距相等即可。）从两个中线点a和b绘制直线，穿过相应的点，如图所示。匹配线的交点定义了一个象限中椭圆上的一个点。标志点通过徒手曲线或法式曲线的片段连接起来，然后追踪或复制到其他三个象限中。

另一种更有效的束缚方法( B ) 是定义椭圆矩形，然后将一端对齐的长轴和短轴的长度转移到一条纸板或厚纸上（右图）。由于长轴和短轴的长度不相等，因此它们在另一端（洋红色线）的端点之间有间隔。这些端点与椭圆矩形的短轴和长轴对齐，并且椭圆的圆周从卡片另一端的对齐端点处标出。此方法速度很快，但随着长轴和短轴相等（椭圆接近圆形），它的精确度会降低很多。

第三种方法（C ）使用两个以a点为中心的同心圆；两个圆被定义椭圆长轴和短轴的垂直线分成四等分。从点a开始，通过两个圆径向绘制任意数量的直线，从而在线与内圆和外圆的交点处创建点对。然后从这些点延伸出与椭圆的长轴或短轴平行的线；它们的交点定义了椭圆上一个象限的点。这种方法的优点是，通过将“辐条”以及水平和垂直构造线完全延伸到较大的圆上，可以识别整个圆周。

然而，有一个问题。上面的圆构造图显示，椭圆的中心与图像正方形的中心（图像对角线的交点）不重合，因为衰退导致正方形的后半部分看起来比前半部分小。因此，标识椭圆中心的黑色十字并不位于对角线处，而是位于其下方（前面）。

这与产生球体的可见周长（等于椭圆长轴的图像宽度）和其直径的视角（等于穿过其球体的透视正方形的图像宽度）之间的视觉差异相同。中心）。这个问题将在投影球体部分中进行研究。不幸的是，除了在平面图中绘制比例图之外，没有简单的方法来缩放椭圆的宽度，因为长轴与正方形的中线横截面不重合，并且椭圆与正方形包络线接触的点是通常不在椭圆的长轴上。但对于20°视野范围内的透视圈来说，差异很小，可以忽略不计。

这是建筑师传统上使用椭圆模板而现在依赖计算机绘图程序的主要原因。这些模板包含大量的椭圆形切口，每个都比最后一个稍大，所有椭圆形切口都缩放到包含圆形的平面上的标准视角。艺术家只需选择最适合所需椭圆长轴和短轴比例的模板角度，然后选择最接近正确图像尺寸的切口。 

估计圆的透视缩短（椭圆模板角度）的方法源自视几何圆内的三角切线：

给定一个位于中线附近的透视正方形，从前角画垂直线A ，从相对的后角画水平线B ；这些线相交形成直角三角形。使用尺子测量A和B的长度并求出它们之比的反正切值。这是正方形平面上x点的视角。该角度用于确定最合适的椭圆模板。

在插图中（以像素计算），A = 101，B = 187，因此x处的角度大约为 101/187 的反正切，即 28.4°。距离和大小计算部分中引用的公式允许您使用此角度来推断包含正方形的视场半径，以及正方形中心距视点的物体距离 ( X )。对于由于透视变形而旋转一定角度的椭圆（见下文），椭圆应该被倾斜到相同角度的矩形包围；切线是根据高宽比找到的。

建筑师不会为这些烦恼：他们只是尝试一个或另一个模板，直到他们在视觉上发现角度和尺寸的最佳匹配。

Photoshop 注意：因为圆是长轴和短轴相等的椭圆，所以任何椭圆都只是沿一维压缩的圆形图像。椭圆选框工具可用于大致定义椭圆轮廓，一旦着色，就可以使用自由变换工具通过水平和/或垂直压缩将其调整为精确配合。 

透视扭曲（重复）。如果透视“扭曲”实际上是精确的透视图像并且圆构造方法创建精确的图像圆，则构造的圆将显示透视扭曲，这应该不足为奇。因此，我们必须重新讨论扭曲问题以及如何处理它们。

下面的示例是一个极端情况，但如果将其与类似地从视图方向移位的球形外观进行比较，您会发现它并不比预期差。

1PP 构造圆中的透视变形

这不仅仅是 1PP 透视的产物：如果我们使用 2PP 几何体，包含圆的正方形的形状会显着改善，但圆仍然强烈倾斜。（伸长率和尺寸的减小是由于图像方块更接近主点dvp和地平线。） 

2PP 构造圆中的透视变形

一些透视教程提倡在所有情况下将图像圆绘制为长轴平行于地平线的椭圆的根本解决方案。罗伯特·W·吉尔 (Robert W. Gill) 在一篇其他合理的透视教程中声称，圆圈的正常透视变形“违反了透视定律”——这是完全错误的。问题在于透视扭曲有时与令人愉悦的图像相反。

“赏心悦目”是一个实际问题而不是几何问题，因此实际问题是（例如）如何将一个长轴平行于地平线的椭圆拟合到上面所示的几何上正确的 2PP 图像正方形中。只有在椭圆被严重压扁的同时，椭圆的一侧或两侧不接触正方形的情况下，才有可能实现这一点。吉尔通过将插图中的柱子平放在地面上来避免这一困难：但大多数建筑柱子都放置在方形底座或底座上，或者周围是方形瓷砖地板，因此圆柱形柱和方形底座的比例和形状必须对应。为了适应可接受的圆角椭圆形状，接触图像方形底座的四个边，方形底座的透视形状也必须通过减少其视觉宽度来“调整”。但现在柱子和底座不再与其周围或后面的建筑元素成比例，所以这些也必须调整......

实际上，所有这些调整都是朝着移动对角线消失点的渐进步骤，以及随之而来的 2PP 消失点，距离更远。因此，此问题的适当解决方案是透视扭曲的经典补救措施：减少图像格式中包含的视场，或（等效地）增加主点和对角线消失点之间的距离，或（等效地）增加图像格式中的物距。透视空间。

如果您使用椭圆模板，则椭圆的长轴应与相对对角消失点的直线（在 1PP 中）对齐，或者倾斜角度比相对消失点的直线稍小（在 2PP 中） 。我发现从相反的消失点（从椭圆中心到地平线）绘制的弧线合理地定位了短轴应定向的方向。 

投影复杂的平面图形。正方形或矩形投影可以处理各种更复杂的平面图形，而距离点投影方法是这些情况下的基础方法。

然而，绘制圆弧来识别图中每个点的对角投影的距离点过程很快就会变得混乱，或者需要很大的工作区域。更紧凑的解决方案是使用投影正方形中包含的对角线作为深度投影机制，并仅使用正交线将平面中的所有内容投影到主点（或者，对于 2PP 或 3PP 图纸，使用适当的两个测量点）。

将五边形平面投影到透视空间中

对角深度投影或斜切的方法优雅而简单：在要投影的形状周围画一个正方形；画一条穿过该边界的对角线；为所有关键点建立对角孪生；将每个点及其对角孪生点向前移动到测量栏；将测量条中的点投影到透视空间中的正方形中，并将对角线带到对角线消失点（dvp）；通过构建确立观点的要点。

在上面的示例中，我们想要将不规则五边形的平面投影到透视图中。我们首先按如下所述缩放并旋转平面图至正确的方向和尺寸。然后我们将它围成一个正方形，并通过正方形画一条对角线。（请注意，我们不必将表格精确地居中于正方形内，事实上，该方法的基本组成部分是对角线，而不是包围的正方形。但是，将所需的点放在正方形上会很方便正方形的边（如果可能的话），以消除一个或多个投影正交。）

对于构造表格所需的每个关键点，我们首先将一条水平线延伸到对角线，然后将两条垂直线从（1）原始点和（2）它与对角线的交点延伸到投影线。因此，从点a开始，我们将水平线传送到x处的对角线，然后将垂直线从a和x传送到投影线。

从投影线，我们将所有点投影回主点 ( pp )。我们还将正方形的宽度投影到pp 。然后，使用对角线消失点，我们构造图像正方形，并在正方形内构造其主对角线。

最后，对于与平面对角线相交的每个点，我们从其与图像对角线的交点构造一条横截面。因此，平面对角点x 的正交与图像对角线在点x'相交，这给了我们衰退。x'的横截面与a的正交线在点a'的透视位置处相交。对每个关键点重复相同的操作，但正方形正面或背面的点（例如b）的正交不需要横向，而正方形两侧的点（例如c）不需要单独的正交。

假设消失点相对于 90° 视场（主点和dvp ）精确旋转，这些过程在 2PP 中的工作原理完全相同，并且根本不需要 2PP 消失点来投影图形看法。事实上，可以使用相同的对角线深度投影方法将任意数量的形式投影到相同的透视空间中，并且它们相对于彼此的消失线将精确协调。

最后，也是最有用的，一旦一个平面图形被投影到透视空间中，一条从它的任何一边延伸到包含它的平面的消失线的线（例如，地平面中的图形的地平线）标识了该平面图形。该边以及与其平行的所有物理线的消失点（上图）。

将街道地图投影到透视空间

北翠贝卡历史区，来自纽约历史学会地图

例如，在许多前现代城市规划中典型的不规则街道排列中，可以将该区域的详细街道地图投影到地面平面图上，并且该图像街道布局用于定义各种建筑物水平方向的 2PP 消失点（粉红色的线，上面）。

或者，可以将公制网格以适当的间距和透视深度（上面的蓝线）投影到图像平面上，并将地图逐个正方形地复制到网格中，并使用对角线深度投影来描绘出轮廓或位置。棘手的问题，例如右前景的交通环路。 

复杂实体形式的透视

投影复杂实体的策略本质上是投影二维图形策略的三维扩展。复杂的形式被封闭或简化为立方体或矩形，和/或它们定义的网格或对角线，并且根据定义的界标点重建对象。 

构造固定高度和宽度的椭圆的三种方法

我想大多数艺术家都记得他们第一次看到保罗·乌切洛（Paolo Uccello）（右）的圣杯“线框”透视画时的惊讶。在这种情况下，复杂的构造是通过简单透视任务的艰苦积累而实现的，为了致敬，我将它们总结如下：

1. 杯子底部的正方形平面是在透视空间中构建的。从圣杯顶部和底部明显的椭圆比例来看，我发现乌切洛使用的距离点（观看距离）约为杯子高度的 8 倍（例如，圣杯包含在 7.2° 的视野范围内）。因此，如果图纸是实际尺寸（29厘米高），则观看距离约为2.3米；杯底低于视线高度约 58 厘米。

2. 分别将一个圆的平面平分，然后四等分，然后每段再平分三次，得到一个圆的 32 等分。

3. 用垂直线将交点引至投影线，然后将其正交投影到透视空间的正方形平面上。请注意，二分法产生的交点在水平和垂直方向上都是镜像对称的，因此重建正方形所需的只是每个正交线与正方形对角线的交点（参见上图）。

4. 这个方形投影被重复六十次，每次的比例和垂直位置都略有不同，以形成杯子的主圆周。正方形的垂直间距是通过杯子的立面图或等效的物理测量来完成的；以及通过测量得到的水平间距。

5. 水平连接标志点以定义圆周边缘，并垂直连接到上方和下方圆圈中的匹配点以定义杯子表面。

小的错位和线宽的变化表明最终的杯子图是由两个或三个部件图组装而成的；这意味着我们所拥有的绘图是通过针刺从其他绘图中转移而来的，或者是为了准确性而以较大格式绘制的绘图的缩小版本。整个项目肯定需要几周时间才能完成。

在这种背景下，听到乔治·瓦萨里 (Giorgio Vasari) 对乌切洛的消费视角研究的评论是很有趣的：

除了研究某些困难的、甚至是不可能的透视问题之外，没有其他的乐趣，这些问题虽然充满幻想和美丽，但却极大地阻碍了他的人物画，以至于他年纪越大，画得就越差。......为了这些调查，他把自己隐居起来，几乎是一个隐士，很少与任何人交往，并且在自己的房子里呆了数周甚至数月而不露面。”[画家、雕塑家和建筑师的生活， 1550；“保罗·乌切洛，佛罗伦萨画家”]

对于许多现代透视爱好者（包括数字渲染工程师）而言，这是几个世纪以来的一个警告，他们在单个纹理贴图或照明模型上花费数天或数周的时间。（那些孤独的忧郁症患者花了几个月的时间将所有内容移植到一个不起眼的网站上，嗯……他们可以免于谨慎。） 

投影一个球体。球体及其相关的几何形状圆锥体和圆柱体提出了一个微妙的困难。一方面，它们的横截面都是圆形的，因此在大多数情况下，可以用沿着前​​边缘或圆周的椭圆形轮廓来表示。另一方面，它们是实体而不是平面图形，这会产生图像比例和透视缩短的特定问题。 

球体图像比例。缩放问题是距离视点相对较近的球体呈现的视角大于其物理直径的视角。也就是说，使用测量条或单位距离在透视空间中投影球体的直径将低估其实际的表观尺寸。该图显示了原因：球体边缘的视角位于直径前面，位于其可见周长处。

球体的可见周长和角直径之间的差异

在 1.4 倍直径的物距处显示的球体

奇怪的是，这个问题在一些观点手册中得到了广泛的讨论，却没有提出这样的问题：这种差异重要吗？对于从其中心到视点的物距（地平面距离）为其直径的 2.5 倍的球体，球体的角直径为 22.6°，但其可见周长为 23.07°。这与满月的视觉宽度（1.15 米处 1 厘米）存在约 0.5° 的差异。这可能很重要。

对于球体，物距为其直径的 5 倍时，可见误差约为 0.05°，即 10 米处为 1 厘米；对于 10 倍直径的球体（列奥纳多建议的减少透视变形的物距），差异为 0.007°，相当于 80 米处的 1 厘米，低于人眼或同等相机的光学分辨率。因此，我建议对于物距超过其直径 5 倍的球体、圆柱体或圆锥体，可以忽略该问题：视觉差异小于 0.5%（例如，10 厘米中的 1/2 毫米） ，它小于由于绘图不准确而引入的随机变化。 

对于更接近的物体，可以通过以下方式处理缩放问题：（1）从重现球体直径/物体距离比例的平面图（例如上图）构造球体直径的测量条；(2) 使用下表中的比例，根据球体的图像大小重新缩放测量条以反映可见周长。

球体图像透视。第二个问题是用于表示球体的圆/椭圆的透视缩短。由于球体在深度上是可见的，因此其表观直径会发生旋转缩短，从而导致当球体位于观察方向的一侧时，其圆形轮廓呈现椭圆形。最大伸长轴始终近似从主点径向延伸，因此球体可以垂直、水平或对角线伸长，具体取决于其相对于观察方向的位置。

然而，几乎所有人都同意，在透视图中，球体应该被表示为圆形。Robert W. Gill 对此解决方案提供了最详细的辩护，但这是常见的做法。事实上，我从来没有找到一篇透视文本来解释绘制球体真实中心投影的正确方法。

从基本的透视规则进行推理可以让我们制定出正确的程序。首先，球体总是可以被立方体包围，立方体的宽度等于球体的直径，因此球体接触立方体每个面的中心。这个透视立方体可以从物理空间中的任何角度或方向观看；根据立方体的视角可能需要，相应图像立方体的侧面将后退至其 1PP、2PP 或 3PP 消失点。

作为演示示例，2PP 圆将用作我们要构建的球体的平面。首先需要构造透视立方体，因为穿过该立方体内部的对角线位于我们要构造的球体的中心，穿过底面的对角线位于球体与地平面接触的点，即其透视图像物体距离。该立方体正面的测量条也是我们要构造的球体的直径。

球体的透视图

构造用于定位球体中心和地平面距离的透视立方体；还显示了对其所包含的球体的圆形轮廓的猜测

现在，在物理空间中，透视立方体内部的球体似乎具有不变的圆形轮廓，无论透视立方体的视角如何。为了证明这种不变的外观，想象一个投影平面（1）穿过球体中心并且（2）始终垂直于从视点到球体中心的视线。在这个平面上，球体的轮廓将始终显示为完美的圆形，并且始终包含在投影正方形中，该投影正方形的底边可以（任意）平行于地平面。

圣杯的透视图

皮耶罗·乌切洛（c.1450）

然而，这个投影正方形不是透视立方体的横截面，因为它可能是矩形、梯形或不规则六边形，具体取决于透视立方体相对于视点的方向。相反，投影正方形是投影立方体的中心横截面，该投影立方体具有与透视立方体相同的尺寸，但其方向使其正面垂直于球体中心的视线，并且其水平边缘平行到地平面（右图）。该投影立方体及其横截面（即投影正方形）将具有与透视立方体及其平面不同的消失点。

球体的真实透视图

定位投影立方体的消失点

投影立方体（和投影正方形）的消失点是通过 3PP 方法找到的，用于精确旋转消失点，并根据投影立方体的给定方向进行推导（上图）：

•水平顶部和底部边缘的消失点是通过旋转来自视点的视线、折叠到垂直对角线消失点、到球体中心距主点的水平（左或右）位移来找到的。这是从球体中心到地平线的垂直线（透视规则 8 ）的交点。那么我们想要的消失点 ( vp ₁ ) 位于地平线上，与该视线成 90°。

•立方体的后退侧边与立方体中心的视线平行（因为立方体的正面垂直于视线），因此它们的消失点是球体的中心（透视规则 5）。

•投影立方体的直立边与包含视线的平面平行并与地平面垂直。因此，它们的消失点位于该平面的消失线中，即距球体中心的垂直线。消失点的位置如此处所述，并且视线旋转到球体中心距地平线的垂直（向上或向下）位移；消失点 ( vp ₂ ) 位于与该视线成 90° 的球体中心线上。

球体的真实透视图

缩放球体直径的测量条，并投影到测量点

投影立方体的尺寸可从用于定义透视立方体侧面的测量条中找到（上图）：

• 正交线用于将原始测量条（洋红色线）投影到球体中心的图像深度（绿线）。

• 测量条位于球体中心（蓝线）。

• 通过水平消失点测量点的消失线，将测量条的长度旋转至与投影立方体正面平行。测量条投影到从此消失点穿过球体中心的线上。请注意，投影在透视空间中向后和向前，具体取决于投影立方体相对于图像平面的水平倾斜。

• 测量条旋转90°，其垂直尺寸投影到垂直消失点的测量点，以校正投影立方体相对于图像平面的垂直倾斜。

• 测量条定义了四个点：这些点是与球体的封闭圆周相切的投影正方形的四个边。如有必要，可以重新调整这些尺寸，以考虑球体较大的可见周长。示例问题中的测量条（球体的直径）长 1.2 米，并且（基于球体位于地平面上的点的图像高度）球体中心距视点 3 米。因此，使用上表，尺寸可以增加 3%。

• 使用从两个消失点到四个边点的消失线来完成该正方形。这是投影正方形的透视图。

• 消失线用于执行“无计划”方形构造方法或其他更精确的方法（如果需要）。

• 投影点连接成椭圆形，形成透视球体的可见周长（或视觉直径）。下图显示了完成的图纸。

球体的真实透视图

从“无计划”方形投影方法构建球面轮廓

我之所以这么离题，有四个原因。首先，我通过示例验证了球体的正确透视图像不是椭圆形。

然而，即使对于远离观察方向一侧的非常大的、紧密放置的球体，椭圆形畸变量也比相同位置处的地平面圆中的椭圆形畸变量小得多。这（以及以“正确”方式绘制球体的复杂性）为使用圆形轮廓来表示球体的实践提供了理由，这是自文艺复兴以来一直习惯且完全可接受的透视解决方案。

第三，我的透视解决方案表明了为什么圆形可以成为透视图像中可接受的球体图像。实际上，球体在视觉体验中没有定义消失点：它们仅反映了观看者图像尺寸的中心衰退。我们通过在球体周围构造一个投影立方体来人为地引入消失点，并且无论透视立方体的消失点是什么，该立方体始终处于 3PP 中。

球体的许多属性——球体表面缺乏线性元素、从每个角度看宽度和深度的尺寸始终相等、日常体验中物理球体的尺寸通常较小，以及成对图像的光学相等性。双眼视觉——与定义许多“线性”透视示例的线性边缘、大的物理范围和双眼视差完全不同。因此，我们对球体的习惯性视觉概念不同于我们与铁轨、栅栏、街道、建筑物和其他典型透视主题相关的衰退和深度收敛。重点是透视涉及绘制我们所知道的东西（或者我们认为我们看到的）而不是图像平面上几何上正确的投影：这个问题是所有透视“扭曲”的核心。

最后，我展示了透视基本规则的力量，结合 90° 视野以及消失点和测量点的显式旋转，可以解决新颖且复杂的透视问题。 

投影圆柱体。在大多数透视结构中，圆柱体是柱子，并且柱子不会出现异常的透视问题，因为柱子的圆形底座由封闭的正方形定义，并且柱子垂直于地平面。

透视立方体
和投影立方体内部的球体

但是，如果柱子倾倒，或者看起来即将倾倒——就像比萨斜塔（右）——那么我们必须找到它的底部与视角方向的角度，并据此构建圆的透视缩短，在这种情况下找到塔每层的周长。

比萨斜塔的透视图

显示图像比例和垂直角度的旋转以及两个圆形结构

该绘图是通过首先根据照片或准确的平面图和立面图确定必要的测量值来绘制的。如果倾斜角度垂直于观看方向，则倾斜角度与垂直方向成 5.5°。假设物距约为 75 米，56 米高的塔的垂直视角将为 36°。（此处不考虑其他塔尺寸，例如直径。）

为了模拟倾斜，中线和水平线围绕主点旋转 5.5° 角，以产生新的水平线（洋红色）和新的中线，该中线现在是塔筒的轴线。

接下来，从侧对角消失点之一旋转 36° 角来定位塔图像的垂直尺寸。我从原始地平线到原始中线进行了此操作，假设塔高度测量是真正垂直的。如果沿着塔的轴线进行测量，则将从“倾斜” dvp到塔的轴线进行旋转。

测量杆用于确定每个塔层沿轴线的垂直位置；显示了顶部平台 ( a ) 和中间层 ( b ) 的两个示例。如果这些点按照塔前侧的距离进行缩放，则它们将位于透视正方形的正面上；如果它们缩放到塔中心的距离，它们将位于塔轴上并位于透视正方形的对角线中心。

无论哪种情况，透视正方形都是从高度点构建的，使用倾斜dvp 的对角线（蓝线）。因此，b的对角线定义了透视正方形的前半部分对角线。塔宽度的测量条（垂直于塔轴线倾斜并以b为中心）定义了透视正方形的前角（n和o）；从这些点到主点 ( dv ) 的正交定义了正方形边。从这些正交线与原始对角线的交点到b的第二条对角线定义边中点（例如，在r）；这些点的对角线在正方形的背面相交（在s处）。（或者，n和o的对角线与正方形后角处的正交线相交。）穿过s并平行于no 的线定义了透视正方形截面。最后，使用上述任何方法将圆的前周投影到该正方形中；考虑到已经构造的对角线的数量，没有计划方法的圆可能是最有效的。 

投影螺旋楼梯。比萨斜塔示例解决了圆柱体的倾斜问题，但忽略了塔水平的垂直缩放，这是通过塔的测量杆或标高（侧视图）完成的。螺旋楼梯虽然几乎从未出现在图纸中，但却是陈旧的透视陈词滥调，也是如何将立面和平面图相结合以在三维空间中投影复杂物体的一个很好的例子。

螺旋楼梯的透视图

使用圆投影和横截面的乌切洛方法在立面上深度定位楼梯

确实没什么需要解释的。平面图只是投影圆的 Uccello 格式，代表楼梯的外边缘。立面的构建方法是：将每个楼层的楼梯位置带到横向的一侧，然后将它们垂直投影到主点（或者在 2PP 中，投影到控制消失点）。 

投影圆锥体。最后，我用圆锥体演示了该过程，圆锥体的轴可以等效为圆柱体的轴。

比萨斜塔

最简单的问题是当圆锥体的底座位于或平行于地平面时（右图）。在建筑中，这种情况发生在例如圆形塔、筒仓或尖塔的屋顶上。然后，底面由平行于地平面且包围其圆的正方形定义；顶点位于从正方形对角线中心绘制的垂直轴上。

最复杂的情​​况是锥体的轴与地平面和观察方向都成一定角度的情况。在示例中，圆锥体的底面直径为 1 米，高度为 3 米，侧面放置在地平面中，轴与视角方向成 30° 角，物距为 4米。完成的施工如下图所示。

斜锥体的透视图

采用消失点旋转、水平线旋转和测量点的方法

第一步是建立消失点框架，因为这是缩放图像尺寸所必需的。

涉及两个角度。如果圆锥体的底面完全平行于观察方向，而其轴平行于地平面，则圆锥体的底面将垂直于地平面。如果圆锥体侧放，则底部将定义 9.5° 的视觉倾斜（圆锥体顶点内角的 1/2）。这仅需要围绕主点的地平线和中线有相应的倾斜（对于上面的塔楼示例）。然而，底座实际上与视角方向成60°角，因此9.5°角被这个角度缩短了。

这可以通过两个步骤解决：（1）围绕视点（垂直dvp）旋转消失点以获得底座的 2PP 框架，然后（2）围绕主点 旋转 vp，以获得由圆锥体侧躺着。（如果需要，可以按相反顺序执行这些步骤。）

或者，可以从长方体的底部到顶部标记 9.5° 角，并将立方体以所需的消失点旋转投影到 2PP 透视空间中（参见下一节）。

接下来，以通常的方式定义测量点，即围绕两个消失点到旋转地平线绘制的圆弧。

第三，使用前面描述的缩放绘图的过程来定义圆锥体高度和底部宽度的测量条。

使用测量点，将 3 个单位维度高和 1 个单位维度正方形的长方体投影到透视空间中。

对角线用于找到远方形面的中心，即圆锥体的顶点。

最后，使用“无计划”方法在另一端矩形的正方形底内构造圆锥体的椭圆底。如果使用椭圆模板，则椭圆的长轴通常垂直于圆锥体的轴对齐。

使用相同的方法来构造与图像平面、地平面和/或观察方向成倾斜或锐角的圆柱体。唯一的区别是在长方体的两端构造了圆形或椭圆形的圆周。 

以复合角度投影复杂实体。我使用两个柏拉图多面体作为例子，这是文艺复兴时期绘图员面临的第一个透视挑战。

我们已经在研究柏拉图立体之一——六面体或立方体——并且立方体（或长方体）可以用来投影复杂的实体形式，就像用正方形来投影复杂的平面图形一样。 

八面体和对角线居中。八面体是具有八个面和六个顶点（角）的正多边形。八个面是以109.5°角连接的等边三角形，不方便通过多次消失点旋转来测量。在所有这些情况下，投影立方体/矩形都可以发挥作用。

八面体的透视图

采用对角线居中的方法，在60°视野范围内

这个例子很简单。使用测量条将立方体投影到 2PP 空间中，该测量条以全长测量立方体的高度，并投影到适当的测量点以定义立方体的缩短面。

对角线用于定义图像方块的透视中心。它们定位八面体的顶点；表格的所有正面的点都简单地连接起来。 

十二面体和分层投影。十二面体是一个正多边形，有 20 个顶点和 12 个五边形面，每个五边形面与五个相邻面的角度约为 116.5°。尽管顶点都与球体表面相交，但它们与立方体的几何形状没有任何简单的联系。然而，可以使用投影立方体来构建透视图像；尽管对于非常复杂的表格和适度规模的绘图，该方法需要专业的绘图设备才能可靠。

立方体由两部分组成：一系列（在本例中）穿过立方体的水平层，每个层以特定的间隔在平面中显示形状的一部分，以及定义层之间分隔的垂直测量条。立方体可以很容易地分成一系列的部分或立面，用水平测量条记录；最佳策略取决于主要形式的特征。

首先将计划构建为单独的层，并且必须检查各层以确保它们定义了所有必要的重要点。如果可能，初级形状应被投影立方体紧密包围，使得形状的面或角与立方体的面和/或角重合；这减少了投影工作。当使用多个层或计划时，每个层必须由相同的注册标记或立方体轮廓包围，以便各层在投影步骤期间彼此精确对齐。

十二面体的透视图

从十二面体高程构造垂直测量条

垂直测量条是从主要形状的立面构建的，该高度在包含重建形状的轮廓、角、边缘等所需的重要点的水平处被切开。

在这种情况下，就像我们对透视立方体所做的那样，重要的点是顶点（角），它们定义了所有的边，以及边，定义了形状的面。

顶点将立方体分为四层：a、b、c、d（上图），并添加间隔x来指示十二面体底面与立方体底面之间的距离。

请注意，十二面体的方向与立方体的侧面对称或规则。如果方便的话，应该始终使用任何复杂的形式来完成此操作，以便可以完全通过投影立方体的消失点来操纵其方向。

十二面体的透视图

构建投影立方体，测量点和对角线消失点位于 60° 视场内

接下来，在透视空间中按照十二面体对象所需的位置、方向和比例构造投影立方体（上图）。此处描述了构建 2PP 图像立方体的过程。

十二面体的透视图

投影层“a”中的顶点

现在开始单独平面图层的投影（上图）。每层使用以下步骤：

• 垂直测量条与锚点对齐，并标出水平位置（图中的a ）。通常，最好的程序是从最靠近视点的层到最远的层进行工作，以便随着工作的进行，可以忽略被表单前部遮挡或隐藏的重要点。

•水平线（绿色）从该点绘制到消失点；这些定义了要投影的层的沿立方体表面的边缘。图层对角线是从立方体的相对边缘绘制的，它们与水平线相交。

•投影条与位置水平面( a )水平对齐。

• 将适当的平面水平与投影条对齐（在示例中，使用方形轮廓和居中“+”进行配准），并且将要投影的点（五个顶点和三个对角线深度点）向上移动用垂直线定义投影点。水平位置、水平线、投影条和平面轮廓的准确定位和对齐至关重要；特别是，平面正方形的顶面必须与投影条完全平行，并且投影条必须水平（对于水平层）。

• 投影点（垂直线与投影条的交点）通过到适当测量点的线投影到水平线（绿色）上（因为投影到立方体面上，其衰退由vp ₂定义，正确的测量点为mp ₂ )。这些线在其边缘位置的图像点处与水平线相交。

• 图像点的边缘位置通过消失线（蓝色表示顶点，粉色表示对角线深度点）回归到适当的消失点（示例中的vp ₁）。

• 在对角深度消失线与水平对角线相交的地方，这些交点通过消失线回归到相反的消失点( vp _{2 )。}

• 消失线的相应交点用于定位图像顶点（橙色点）。

从图中可以明显看出，复杂形状的每一层可能需要数十条消失线。为了消除擦除和混乱，在一大张绘图牛皮纸或描图纸上绘制每个平面图层非常有用，其方向使得投影立方体区域也被覆盖。然后将整张纸铺在工作区域上并用胶带拉紧到位；然后在其上绘制水平线、投影线和消失线。当找到该层的重要点时，用针刺穿过纸张将其标记到下面的绘图纸上。

在移除层板之前用小铅笔点确认点的位置；然后将纸张取下，并清理绘图中的添加内容，将其作为边缘连接等，然后再进行下一层。

十二面体的透视图

投影层“b”中的顶点

垂直测量条用于定位下一层位置（b），并且投影条向上移动以与其精确水平。然后将平面图在其下方对齐，并重复上述投影步骤。

当投影层在透视空间中定向以便几乎在边缘上看到时，就会出现一个严重的绘图问题：在示例中，级别c几乎在地平线上。在这些情况下，点的位置由以非常小的角度相交的消失线定义，从而可能会带来很大的不准确性。

解决方案是在两侧较远的地方创建第二个投影层（在示例中，在投影立方体的底部甚至在其下方），并通过垂直线从第二个投影层中的透视位置水平定位点。这些将消失线替换为两个消失点之一，并且现在可以省略对角深度点及其消失线，这大大减少了混乱。到一个消失点的消失线与第二投影层的垂直线几乎以直角相交，从而准确清晰地定义了这些点的水平和垂直位置。

该技术需要两次构建图像​​点，一次在第二个投影层中，然后再次在最终图像层中，这种重复投影也是不准确的根源。

十二面体的透视图

60°视野内的成品图

将所有图层投影到图像中后，擦除所有剩余的构造线，连接点，然后绘图完成。该图像显示了投影立方体的位置，以便于与上面的八面体图进行比较。 

底部平行于地平面的圆锥体

投射人物形象。毫无疑问，艺术家所解决的最困难的透视问题是人物。这也是最先被解决的问题之一。Piero della Francesca 的De Prospectiva pingendi (c.1474)中阐述了一种复杂但精确的方法，Albrecht Dürer 的Vier Bücher von menschlicher Proportion (1528)中解释了相当粗略但有效的方法。事情在 16 世纪真正升温，当时所有那些圣人和天使翱翔天堂的天花板壁画都需要仔细分析人类的透视（以及人类的脚底）。到了 17 世纪，丁托列托的职业生涯之后，这些东西就成了学校的研究内容。

将人物转换为透视图的最简单方法是根据生活进行绘画或描画照片，以正确的姿势和正确的视角显示人物，以匹配其在主图中的方向。然后将该图形研究缩放到适当的尺寸并追踪到位置。

使用观察网格的透视图

将图形从观察网格逐个正方形复制到纸上的较小网格，然后缩放该图以适合主画；摘自丢勒的《Vier Bücher》（1528）

更直观、更严格的方法是通过将点三维映射到透视空间来重新创建图形。据我所知，这种传统基本上有三种方法：（1）截面投影，（2）体积投影，（3）电枢投影。

皮耶罗使用了剖面投影：他将人体头部分成平行的矢状平面，投影每个剖面的关键点，就像我们投影上面的八角形平面一样，但垂直间隔每个正方形以匹配空间中剖面的解剖学分离。这创建了一个点的“笼子”，并且只需将点转换回面部特征即可重建面部。

第二种方法是体积投影，首先将人物形象分析为许多相互连接的鸡蛋、圆柱体、盒子或金字塔，然后以透视方式投影这些简单形式的主要角或轴，然后重建它们周围的图形。这种方法在巴洛克时期很流行，甚至像已故的派对嘉宾一样渗透到 20 世纪的人物画和透视文本中。我非常不喜欢它，因为它完全破坏了人体的拉伸、铰接和圆润的力量。我觉得积极的实时人物绘画计划是从不同角度学习身体形状和重量的更好解决方案。

如果您确实有这个基本了解，那么骨架投影是在透视投影中获取人体比例的非常有效的方法。您真正需要的只是每个艺术商店中出售的木制解剖模型之一。

从艺术学校的人体模型中投射出人物形象

12 英寸长的 Dick Blick 硬木人体模型

该图显示了该方法的基础知识。将人体模型放置在所需的解剖位置，然后将其放置在玻璃桌面或投影架上。使用尽可能远离装置的天花板灯或聚光灯，将人体模型的阴影投射到人物下方的硬白卡上。使用阴影作为指导，在卡片上标记主要接缝。

现在将聚光灯或台灯放置在人物的一侧，与人物高度相同，与人物的主轴成直角，并且与天花板或头顶点距人物的距离相同。在人物后面牢固地支撑第二张坚硬的白色卡片，其距离与前一张卡片在其下方的距离相同。以同样的方式标记接头。

选择接缝间距较大的卡片作为主面，然后将点绘制到一张方格纸上，或者直接从卡片上进行测量，从每个点到一个长边再到一个端边。从第二张卡片到一个长边进行一组测量。这些测量结果可以使用上述方法进行缩放、旋转并传输到测量条，并从那里投影到透视空间中。然后在关节周围徒手重建缩短的图形。

我已经用人体模型解释了这种方法，但如果您可以从完全相同的距离拍摄人物姿势的两个垂直视图，那么它确实会很出色。可以直接从照片中进行测量，将每一张照片用作投影图像的“卡片”。使用 Adob​​e Photoshop 等计算机图像处理软件，您甚至可以扭曲和缩放图像，以匹配预先绘制的长方体的透视轮廓，然后直接连接两张照片中的匹配特征，而无需任何测量。

这种骨架方法隐含在埃德瓦尔德·迈布里奇创作的一系列人类和动物运动照片中。在许多动作系列中，都有侧视图和前视图，或两个互补的前视图和后对角视图，以完全直角的视角方向拍摄。这些允许从主要关节的照片和沿正方形或矩形两侧的身体尺寸进行二维测量（垂直距离的第三个维度在两张照片中相同，或者可以按比例缩放）。可以使用皮耶罗的矢状截面方法或电枢方法将这些点投影到直线实体内的空间中，然后甚至可以通过简单地旋转封闭直线实体的消失点和测量点来从任何角度观察物体。

当然，这整个讨论毫无意义。艺术家现在可以使用Poser等软件来创建任何姿势的男性或女性“数字人体模型”，无论是穿衣服还是不穿衣服，并在此基础上渲染图画或艺术作品；还有一系列VirtualPose盘可供使用，可在二维中旋转静态人物姿势。针对主要动物的计划肯定会随之而来。 

蓝图或计划中的建筑物

线性透视最常见的应用是从建筑物或物体的立面图和平面图开始，并将其转换为三维透视图。

根据物体或建筑物的形状，需要一个、两个或有时三个单独的视图来构建它。有时平面图（俯视图）是必要的；单个侧视图本身就足够了。如果使用多个视图，则这些视图必须彼此成直角。

我将使用独立商业温室的蓝图（如下所示）。我以两点透视来渲染这座建筑，这既是最常见的建筑惯例，也是相对简单的使用方法。

用于透视计划的蓝图

第一步始终是确定绘图的比例和基本比例。如前几节所述，这意味着 (1) 选择图形的图像格式或尺寸，以最好地显示图像中的重要形状；（2）选择最佳视角（正面、斜向）以展现建筑物的重要特征和比例；(3) 调整沿视角与建筑物的视距，以在视野和格式内创造令人愉悦的形状比例；(4) 上下移动视点以建立有效的锚点和水平线；最后（5）找到必要的消失点和测量点，开始构建透视。 

图像格式和观看距离。出于演示目的，我决定要使用适度的比例来绘制绘图或绘画，因此选择在四分之一张（11 英寸 x 15 英寸）内进行创作。考虑到图纸的尺寸，我们假设到绘图的观看距离约为两英尺（24 英寸），这比阅读书籍的正常距离（18 英寸）稍长，但比正常距离短得多用于观看绘画（60“）。也就是说，我们希望绘图用于仔细检查而不是宏大效果。其他格式尺寸和比例将更适合其他演示目的、显示设置、媒体等。 

比例尺和视角。根据蓝图，我确定完工的温室长 27 英尺、宽 25 英尺、高 14 英尺。根据这些规范，我可以定义一个缩放形式- 一个与建筑物平面图轮廓相同比例的矩形（事实上，它可以是蓝图平面图本身的描图或全尺寸复印件），大约与图像格式一样大包括对角线。

平面比例为 27/25 或 1:1.08，图像格式为 11" 高（横向），因此缩放形式绘制为 11.9" x 11"（包括对角线）。这代表了建筑物，并在图中显示为洋红色矩形。

根据平面图建造：尺寸和布局

以 60° 视野显示

接下来，我转动或旋转此缩放形式，直到边相对于中线的角度与您想要的建筑物的视角相匹配。换句话说，我向左或向右扭转洋红色矩形，直到在结构的正面和侧面获得所需的视觉比例。

一旦获得令我满意的视角，我就会在缩放形式的对角线上选择一个点，该点定义了最适合格式比例的结构的视觉宽度。在图中，我选择了缩放形式原始对角线长度的 66% 的点。这个宽度提供了空间来包括温室周围环境的渲染——路径、树木、天空等。现在，通过从这个对角点延伸与缩放形式的边平行的两个新边，我有一个缩放的计划（灰色图中的矩形）以精确的比例适应格式。

我向左或向右移动此缩放平面图，直到其在格式中的水平位置达到我想要的位置，然后从缩放平面图的对角放置两条垂直线以定义建筑物的视觉宽度。我从比例平面图的一角放下第三条线，代表建筑物最近的角，因为它将在最终图纸中看到。

作为检查，我现在确定绘图的比例。我通过测量按比例缩放的平面图的任何一边，然后将该长度除以要建造的建筑物的实际长度来做到这一点。在此示例中，缩放平面图的宽度（短边）为 7.26 英寸。基本尺寸和距离比例表明该图纸尺寸除以到图纸的观看距离 (18 英寸) 等于图纸的实际宽度。温室 (300") 除以到温室的观看距离。计算表明，温室将按照从大约 62 英尺的距离处看到的样子绘制，比实际尺寸缩小大约 2.4%。

建立与蓝图比例相关的绘图比例也很有用，这样从蓝图中获取的任何测量值都可以直接转换为绘图测量值。（如果您只是使用蓝图计划的全尺寸复印件作为缩放形式，则在创建缩放计划时您已经完成了此步骤。）在这种情况下，蓝图的比例为 1/2" = 1 英尺，因此图纸中温室的宽度为12.5英寸。缩放后的平面图的相应宽度为 7.26"，减少了 58%。现在，例如，如果我在 1" 的平面图中测量窗户宽度，我可以立即将其作为 1" 的窗户宽度传输到绘图中。缩小了 0.58" 的比例。

最后，我可以确定锚线的长度：它是 14 英尺建筑物高度的 2.4%，或者是 7 英寸蓝图立面高度的 58%，或者大约 4.0 英寸高。然后，我根据隐含高度确定地平线与锚线相交的点的观点。例如，如果以成年人站在水平地面上的方式观察温室，则该高度（观察者的高度，即 68 英寸）等于绘图尺寸 1.63 英寸（68 英寸的 2.4%），因此，地平线将与锚线相交，距锚线底端 1.63 英寸。相反，我决定采取约 8 英尺（96 英寸）稍高的有利位置，就好像从凸起的露台或浅坡上观看温室一样。这使得锚点（锚线的底端）约为 2.3 英寸（96" 的 2.4%）低于地平线。

最后一步是相对于格式的顶部或底部定位水平线。从穿过格式中间的地平线开始，然后从该位置发散以获得视觉效果。通常，向上视图（靠近地平面的视点）意味着较低的地平线，因为视图的方向是朝向天空；升高的视点意味着较高的地平线，因为视线方向是向下的。

在这种情况下，即使我选择了稍微升高的视点，我也选择了略低于图像格式的水平中线的地平线，以提供温室后面和远处的环境视图，这给人一种开放空间和户外的感觉。该地平线与中线（位于格式中心下方）的相交点就是视图的方向。 

视野圈和绘图影响。因为到绘图的观看距离为 18"，所以我首先假设 18" 也是图像平面（绘图平面）处 90° 视场的半径：因此视场为 36 “或 3 英尺宽。由于我已经建立了中线和地平线、锚点和锚线，我可以从这里开始围绕主点绘制视野圈，使用缩放计划围绕主点旋转消失点。视圈与中线的交点，并从这些消失点建立测量点，并开始绘图。

这个视野会产生什么样的视觉冲击力？为了找到答案，我将 62 英尺的物体距离除以 27 英尺的物体大小，得到比率 2.3。对视场表的参考表明，对于该距离处的该物体尺寸，该距离/尺寸比大致为25°最小视场。这完全在 40° 最大视野范围内，可防止绘图出现极端的透视扭曲。

然而，只需从适当的 18 英寸半径放大或缩小视野，我就可以增加或减少透视畸变效果所产生的视觉冲击力。

较小的视野会增加透视变形，这将使建筑物或主要物体显得更有活力，增强透视空间和物体的体积，并强调形式的前表面或垂直尺寸。

较大的视野可以最大限度地减少这些影响，这将使形式显得不那么动态，更加“抽象”或理想化，将使透视空间变得平坦，使物体看起来不那么三维（如在望远镜视图中），并且会倾向于平等地强调物体的所有部分。

在这种情况下，我知道温室的主人重视她的平静与安宁……她没有隐现或翱翔的形状。我还判断，温室的基本设计很好地平衡了高度和平面图，因此强调垂直尺寸并没有什么好处。我还知道温室的设计与周围环境融为一体。考虑到这些因素，我将绘图视野扩大了 25%（从 36 英寸到 45 英寸），以产生更平坦、更理想化的成品建筑概念，并通过扁平化将建筑物在视觉上推入其背景设置中透视空间，就像它出现在 18° 视野范围内一样。

现在，所有布局考虑因素——格式、观看距离、物体方向、绘图尺寸、视图比例、锚点、锚线、地平线、中线、视图方向、物体视野圈和绘图视野圈——都已仔细考虑并指定彼此之间的关系以及图像的设计目标。现在我可以内切绘图视野，旋转消失点并建立测量点，如上图所示。 

测量前投影。确定了重要的设计和布局决策后，接下来的步骤就变得简单而机械了。首先绘制正面平面图，并缩放至与图纸相同的尺寸。实际的蓝图或物体高程可以使用变焦复印机放大或缩小，或者可以根据原始尺寸测量尺寸并使用手持计算器缩放，或者可以通过施工缩放尺寸。

无论哪种方式，所需的减少量取决于原始规模。例如，如果蓝图采用标准建筑师比例 1/4" = 1 英尺，那么它相对于实际结构已经缩小了 2.1%。在这种情况下，我已经确定我的绘图是蓝图比例缩小了 56%，因此我可以使用变焦复印机按该比例生成平面图和立面图，或者重新调整施工中的关键测量值。

根据平面图构建：前投影

以 60° 视野显示

如图所示，我将缩放后的前立面图放置在锚点下方，建筑物的右边缘正好位于锚点下方。我将一条水平线延伸到锚点的左侧作为测量栏（洋红色粗线）。（如果我直接在绘图上工作，我发现用一块绘图胶带来创建测量是干净和方便的；当我完成这些测量点和测量条时，只需剥掉胶带即可将其移除离开。）

接下来，将锚点连接到左侧消失点 ( vp ₁ )，用浅色石墨或可擦蓝色铅笔绘制线条。

现在，我将立面中重要的水平间隔 - 门的侧面、入口的宽度、屋顶的峰值、建筑物的宽度 - 直接带到测量栏。我尽可能准确地标记这些。

最后，我使用长直边将测量栏上的每个标记与适当的测量点 ( mp ₂ ) 连接起来。透视衰退中前立面的间隔位于这些测量线与vp ₁的消失线相交的位置。

我仔细标记每个交叉点，然后使用非常轻的石墨铅笔或可擦蓝色铅笔从每个点向上绘制垂直线。最后，我移除前立面并擦除或剥掉测量条。

根据平面图构建：侧面投影

以 60° 视野显示

测量侧面投影。接下来，我对侧立面重复这些过程，这次绘制从锚点到vp ₂的消失线，将测量条放在锚点的右侧，从右侧测量条到mp ₁进行测量标记，然后在每条线与从锚点到vp ₂的消失线相交的点绘制垂直线。

根据平面图构建：垂直投影

以 60° 视野显示

测量垂直投影。侧面和正面投影将共享一条公共垂直线，即从锚点向上延伸的锚线。这条线还用作垂直投影的测量栏——门和入口台阶的顶部和底部、有遮盖的入口通道以及屋顶的屋檐和峰顶。

如果建筑物的正面和侧面有明显不同的特征（例如哥特式大教堂的正面和侧面），那么您必须分别对两侧进行垂直测量。再次强调，遮蔽胶带是一种出色的可拆卸量尺。

对于该温室绘图，侧面的主要特征由出现在前立面上的屋顶屋檐定义。因此仅使用该高度。首先，我必须对齐建筑物的底座或地基，使其恰好位于距锚点的水平线上。然后我用水平线将重要的标高高度带到测量栏上。

完成绘图。垂直投影被带回两个消失点（vp ₁和vp ₂），并且在适当的高度处修剪掉正面和侧面上标记重要水平间隔的垂直线。

该图有一个尖顶屋顶，需要一点技巧，如下图所示。衰退屋顶的峰值由从b向上延伸的线表示，该线是从前立面指定的。然而，其高度显示在前测量栏上的a 处，位于返回vp _{1 的}消失线上。屋顶的前峰位于该线与b相交的点x处。

根据计划构建：完成绘图

以 60° 视野显示

屋檐位于其标高（由垂直测量条上从点c开始的消失线表示）与标记温室前角和左角的垂直线相交的位置，这些线从d和e向上延伸。将这些屋檐标高连接到x可以定义屋顶的透视前斜度和后斜度。

将x连接到vp ₂定义沿温室长度的屋顶峰值。但如何找到温室后面的峰值呢？我将a连接到vp _{2 ，并找到该线与从温室后角向上延伸的线 (} f )相交的点。然后我找到从该点到vp _{1 的}线：那么点x'位于该线与屋顶峰的交点处。最后，我通过将c连接到vp _2来定位c' ，并用来自x' 的线完成屋顶的后坡度到c'。

现在我可以关闭外表面，擦除辅助线和隐藏线，并根据需要使用尽可能多的细节、阴影和背景来完成绘图。11"x15" 格式的成品图的大致布局如图所示。  

平行透视

在这些透视材料的介绍中，我指出，基本的透视主题是视点，而不是空间中的物体。其后果之一是空间中的物体并不总是被明确定义。建筑物的侧面可能会沿视线方向后退，从而模糊其长度、开口或侧面的表面细节，或者建筑物可能会延伸到 60° 视野之外，导致形状出现扭曲。

随着 18 世纪商业制造、军事测量和工业工程范围的扩大，民用和军事应用的技术绘图方法得到了发展，可以显示物体或地点的三维形状，同时准确记录其物理尺寸。这些技术最初由 Christian Rieger 和 Johann Heinrich Lambert 在 1750 年代发表，并由 Rev. William Farish 于 1820 年扩展。

中心投影和平行投影的区别

这些非收敛的平行投影（平行线投影的缩写）的共同创新在于，物理形式通过平行投影线投影到图像平面上。这赋予了平行线图像三个独特的特征（上图）：

•投影线没有视点或会聚点（技术来源将其描述为“图像平面和视点之间存在无限距离” ）

• 由于这种投影方法，空间中的所有平行线在图像中都是平行的（换句话说，任何方向上都没有消失点）——因此“平行投影”这个名称在第二种意义上是恰当的

•图像尺寸与投影距离无关；平行线投影不能代表太空衰退。

相反，中心投影或透视将物理形式投影到图像平面上，并使用与视点会聚的投影线。这可能会导致空间中的平行线看起来会聚，具体取决于投影是 1PP、2PP 还是 3PP 以及线是水平还是垂直；无论如何，重点是消失点的相对位置。图像大小现在取决于距图像平面或视点的物体距离及其相对于图像平面的方向；深度尺寸被缩短并代表衰退。

平行线投影的类型。平行线图像之间的差异可以使用两种约定之一来定义（上图）：

• 解析：定义为 (1)立方体的边缘或面与图像平面之间的投影角，以及 (2)平行投影线与图像平面之间的投影角

• 图形：定义是根据(1)图像中立方体的三个维度的相对比例，以及(2)图像中立方体的边缘之间的三个任意图像角度。

解析定义源自射影几何，具有数学基础，并根据投影角度定义图像，这通常会为立方体的尺寸缩短或面角产生无理数；没有明确引用图像属性。20 世纪末，这一传统适应了计算机图形学的计算方法，尤其是游戏编程。

图形传统源自技术绘图方法和绘图惯例：仅使用标准化（模板）角度和尺寸比例，绘图中的一个尺寸始终是垂直的，任何缩短尺寸的比例通常是一个简单的分数（例如，1/ 2) 其他维度；没有明确提及投影几何。

当这些传统被混淆或混合时，就会发生恶作剧。对于非计算、图形应用程序定义投影角度是没有意义的。许多在线资源与此相反，平行线投影的图形定义必须说明水平、垂直和深度尺寸的相对比例以及它们之间的图形角度。相对比例定义为等轴测（立方体的所有三个边都以相同的比例绘制）、二轴测（立方体的两侧，通常是水平和垂直，以相同的比例绘制）和三轴测（立方体的所有边都以相同的比例绘制）。以不同比例绘制）。

下图展示了使用相同“营房、墙壁和瞭望塔”示例的五个说明性平行线投影：多视图正交、30°/30° 等轴测、60°/30° 等轴测、42°/7° 等轴测和军事 (45 °/45° 等轴测）。

平行线或平行投影

多视图正交投影。第一个平行投影是建筑物的立面图和平面图。在分析文献中，这些被称为正交投影，因为投影光线与图像平面成直角，而在图形文献中，它们被称为正交视图，因为立方体中的直角在图像中显示为直角。

为了实现这一点，主要形式的两个维度平行于图像平面。第三维度并不是简单地被缩短——而是从视野中消失了。

这是正交渲染的主要缺点：每个二维投影完全抑制了三维，这迫使读者在精神上结合两个或多个不同的图形来理解三维概念。在示例中，无法从平面图中识别营房或塔楼屋顶的形状，仅y/z立面图显示营房屋顶有山墙。因此，需要多个正交视图才能完全理解形式的物理形状。

轴测投影。在轴测投影中，所有三个维度都表示为二维图像；通过以明确的相对比例和内角绘制所有三个维度，将第三维度或深度维度带入图像中。

绘制轴测图的一般方法如下：（1）从按比例绘制的平面图开始，以产生最佳的平行线图像为导向；水平尺寸表示为x，垂直尺寸表示为z；然后选择相同比例、相同水平尺寸x和垂直尺寸y的相应高程；(2)以 1:1 比例或缩小到立面比例的比例，将绘图中的所有垂直线y构造为平行垂直线；(3)绘制所有x与水平面成恒定角度的尺寸，在垂直端点的左侧或右侧，比例为 1:1 或缩小到立面比例；(4) 以恒定角度和水平比例绘制所有z维度，位于x维度垂直线的另一侧。

在这个通用映射方法中，平行线投影中唯一的图形变化是三个维度的相对比例以及其他两个维度与水平面的角度。

30°/30°等角投影。这是当今最常用的平行线投影之一，以至于“等距”已成为平行线投影的代名词。从分析上讲，当立方体的所有三个前边缘与图像平面成相等（约 35.3°）的角度时，就会产生此投影。在图形上，所有三个角角均由相等 (120°) 的内角表示（例如，两个非垂直尺寸与水平线成 30°），并且所有三个尺寸均以相同比例 (1:1:1) 绘制。

在图形上，30°/30°等轴测图定义如下： (1) 垂直 ( y ) 尺寸垂直绘制；(2) x和z尺寸以与水平面成 30° 的角度绘制，并且 (3) 所有尺寸均按相同比例绘制。结果，水平和垂直的圆都显示为椭圆。

通过使用放置在工作表面下的预印等距网格（由与垂直方向成 60° 和 30° 角的平行线切割而成的平行垂直线组成）或类似的预先划线的建筑师牛皮纸，可以方便地绘制标准等距平行线图，或标准 30°/60°/90° 绘图三角形。在计算图形学中（例如《模拟城市》），由于像素表示的限制，图形角度实际上是26.6°，因此可以用升序或降序的两个像素段来表示斜线。

60°/30°等角投影。虽然它在视觉上令人愉悦并且非常接近类似的 2PP 透视图，但标准等轴测格式存在两个问题：（1）该计划没有被复制，而是以菱形形式压缩，并且（2）这种压缩影响许多不规则形状的出现（例如圆形和球形，或与三个主要维度成奇数角度的矩形；参见示例图中的“塔”）。

这两个问题都可以通过将其中一个倾斜尺寸提高到与水平面成 60° 角来解决；现在，绘图是平面测量的（该平面在图像中精确再现），因此不规则的形式更容易解释。

然而，这引入了一个新问题：垂直尺寸现在显得夸张或拉长。这可以通过按 3/4 或 2/3 比例绘制垂直尺寸来部分解决。

45°/45°（军用）等角投影。这也是等角投影，因为所有三个边的比例相同。在图形文献中，这有时被称为平面斜投影或平面投影，因为平面角度和尺寸被精确再现。（请注意，军事“投影”不是正交的，但也不是倾斜的：从分析上讲，不可能通过与图像平面成斜角的平行线产生相同的图像。）

与 60°/30° 等轴测图一样，对军事投影的主要反对意见是它似乎夸大了绘图的“深度”。因此，z轴（对于侧面视图）或y轴（对于向下视图，如示例中所示）有时会缩短 1/2，从而创建真正的二等轴测图：这称为橱柜投影。

42°/7° 等轴测投影。对于更接近中心透视的平行线投影，已经提出了一些建议；尽管每个尺寸都与相应的立面或平面图具有精确、恒定的比例，但在随意检查时，这些似乎是透视图（在“长焦”或非常大的物距下）。一项提案将两个倾斜尺寸与水平面成 7° 和 42°；42° 处的尺寸长度也缩小至 1/2。

尽管这些格式对于立方体或矩形形状表现良好，但对于不规则形状则不太成功，如 42°/7° 直径绘图的“塔”中所示。

平行线投影的艺术重要性。为什么艺术家要为严格的技术绘图方法而烦恼？因为透视在其各个方面都是一个非常清晰的“实验室”，我们可以在其中研究艺术表现的许多深刻或复杂的问题。

就艺术史而言，平行线投影是中国古典卷轴画和日本卷轴画的特征。在欧洲，平行线表现成为20世纪初绘画的重要风格特征。立体派绘画中充斥着本质上平面或等距设计的例子，查尔斯·希勒创作了一幅令人愉快的绘画（右图），它将长方形或正方形的平面、等距和二等角图像结合在一起，以暗示空间体积，同时与空间衰退相矛盾；注意桌腿与后面的方形地毯图案相交的精确方式。希勒显然熟悉技术绘图的惯例，并且能够运用它们来达到良好的艺术效果。

在更深层次上，正交投影和平行投影都代表了两个基本且相关的艺术问题的不同解决方案：简化和图式化。所有艺术家，无论其风格或艺术目标如何，都不断地解决这两个问题。

简化是指抛弃信息（细节、复杂性、维度或特征），使其他信息更加清晰。在正投影中，第三维被消除。在正交投影和等角投影中，对象看起来好像是从无限远的地方观看的，这会丢弃有关视点相对于图像中对象的物理位置的信息；这个观点确实是虚构的。

然而，所有投影图，无论是平行线还是透视图，都将视图方向保留为投影线的平均或平行方向。物体的背面没有被表现出来，所有的角度都以特定且一致的关系显示，要么是彼此之间的关系，要么是到消失点的关系。这让我们认识到，简化常常是自相矛盾的——如果没有观点，怎么会有观点的方向？！- 通过丢弃信息，我们实际上创造了矛盾或谜题，从这个意义上说，使图像或视觉想法在概念上更加复杂，如果更少的话感性上复杂。尝试在其他类型的艺术简化（立体主义、野兽派、表现主义、抽象表现主义）中寻找类似的悖论。

图式化涉及通过使这些概念悖论在任何地方出现时保持一致或等效，或者通过在它们之间创建一个层次结构或统治系统来消除这些概念悖论。尽管原理图的选择通常是任意的，并且可能取决于主观审美标准，例如清晰度、和谐、强调或对比度，但可以选择原理图标准，因为存在原理图适合服务的主要外部受众或绘图目的。因此，对某些平行线图的反对意见是，它们似乎夸大了一个维度而不是另一个维度。平行线图解必须变得更加复杂（例如，通过使用二轴测或三轴测格式而不是“简单”等轴测格式），以便使生成的图像更容易（更简单）解释。

一般来说，“艺术风格”是指用于简化和复杂化图像的策略，以产生视觉上或美学上更理想的工件。平行线投影和精美绘画的美妙之处在于它们使用简化和图式化来创建更清晰、更有影响力的世界图像。 

曲线透视

自 19 世纪以来，透视研究最难以捉摸但显然鼓舞人心的目标之一是曲线透视，它涉及使用消失曲线而不是消失线来表示空间。由于这些曲线似乎在两端会聚，因此水平和垂直的横截面创建了两个消失点，每个消失点都有一个由平行于观察方向的正交线创建的第五个消失点。因此，某些投影系统被称为五点透视或球面透视。

查尔斯·希勒的室内装饰(1926)

右侧夸张的示例显示了线性透视和曲线透视之间的外观差异。线性投影似乎将远处的物体推得更远，并使附近的物体显得太近，显得超出比例，并在最末端表现出严重的扭曲。曲线透视将侧视图集中到图像的中心，但通过接近的正交线（地板上的线条）中迅速增加的发散，隐含地增强了个人存在感。

曲线透视常常被认为是对线性透视批评的一部分。许多反对意见源于众所周知的观点“扭曲”。解决这些再现冲突的标准（并且完全有效）的补救措施是从远处观察主题，使其适合缩小的视野范围，或者采取斜视图，以便水平或水平线逐渐变细。垂直元素与消失点之一的效果一致。然而，这些回避是不切实际的，特别是对于建筑内部的表示，例如大教堂的中殿，其中有限的视野排除了对建筑的充分观察。

我在这里介绍了一种制作自己的曲线图的简化方法，并对曲线方法的历史论证进行了更详细的回顾，并引用了书籍，您可以在其中找到更多信息。不幸的是，其中最好的要么已经绝版，要么没有翻译，但是一个好的大学图书馆可以帮助您找到它们。

构造曲线图。建立曲线投影的透视框架很繁琐，但计算起来并不困难。您的目标是制作一个模板，该模板代表无限高度和宽度的直线（直角）网格，平行于图片平面，如您选择的曲线透视系统中所示。然后，您可以在视野范围内绘制该曲线网格，如下面的球形模板所示。 

中央 (1PP) 透视曲线横截面模板

显示为 5° 横截面和正常 60° 视场，这等于球面投影中的 70° 视场

要使用网格将普通（线性）透视图或摄影图像映射到新的透视空间中，必须首先以正常方式将图画成正方形。但是，必须注意使线性图像中的方形的角度大小等于曲线网格中的横截面的角度间隔，否则图像会出现夸张的失真。（上面的模板使用 5° 间隔，根据距离/尺寸表，大致相当于从 11 英尺远处看到的 1 英尺宽度。）最后一步是将图像逐个正方形复制到曲线网格中，然后在进入绘图或绘画的最终状态时清除所有不准确之处。

在两点透视中构建类似的网格要复杂得多，因为消失线从前到后被缩短。但是，通过以正常方式构建 2PP 绘图、将绘图方形化，然后使用上面的网格将绘图投影到曲线表面上，可以获得良好的结果。（如果您知道更明确的方法来构建 2PP 模板以实现 2PP 消失点的任意旋转，请给我发电子邮件。）

曲线透视的历史用途。从 16 世纪到 20 世纪，透视理论家探索了变形或几何扭曲图像的问题，当使用适当弯曲的镜子观看时，可以将其矫正回正常的透视图像。这些研究经常与二维图像中的投影扭曲问题重叠，特别是正前方透视图和斜向两侧的透视图的差异。

曲线透视至少早在 1624 年就在 Tübigen 数学家 Wilhelm Schickhardt 的一本关于流星的小册子中提出（引自 Erwin Panofsky 的《象征形式透视》， 1924 年）：

希克哈特的光学曲线“证明”（1624）

“我说所有的线条，即使是最直的，如果不直接位于眼睛前面，也不穿过眼睛的轴线，必然会显得有些弯曲。” Schickhardt 的论点是，当靠近观察者（在V 处）时，线ab或cd显得很大，但当它们向x或y退去时，必然且明显地变小；因此，“侧面变得更窄，并且必然弯曲；当然，不像屋顶，以便在点o和p处产生锐角，而是轻轻地、逐渐地、实际上不易察觉地，像腹部一样，适合于这样的弧线。”

因此，如果我们站在一座大塔的底部，视线水平处的砖石就会出现在中央透视中；如果我们向上看，我们会在三点透视中看到顶部附近的侧面。当我们面向一堵长墙站立，然后向两侧的末端看时，水平线也会发生同样的情况。

然而，正如与希克哈特同时代的德国天文学家约翰尼斯·开普勒所指出的那样，这里的论点是有缺陷的。如果我们以线性视角表达“证明”，这一点就会变得显而易见：

光学曲线中的逻辑谬误

在此图中，消失线的中断表明，当我们的视线直视前方时，我们在物理上无法看到消失点x和y的图像；为了看到它们，我们必须改变观察方向，从而彻底改变透视几何。如果我们在看无限长的墙壁时将头转向一侧，则通过透视图像表面（现在以一定角度观看）会产生到x或y的会聚，并且随着视图方向变得平行，这种会聚会稳定增加到墙壁的表面。

我们的透视视图中的这些变化必须在图中通过“虚线”消失线来解释，以指示x和y之间应用不同的视图方向。希克哈特曲线是当头部和/或图像平面从一个观看方向缓慢转向另一观看方向时产生的不计其数的不同透视投影的平均值。事实上，他的论点源于对火流星的观察，火流星穿过夜空的很大一部分，并吸引了观察者的全神贯注的目光。

但为什么要停在那里呢？人们还可以创建一张 360° 视图的全景照片，这在光学上是不可能的，因为眼睛必须在所有方向上都是晶状体，同时它的所有侧面都将是视网膜。在某种程度上，我们承认合成图像不能做出有效的感知或透视论证，因此我们与施克哈特分道扬镳。

另一个 17 世纪的论点是，眼睛是一个内凸的表面，这必然会导致投射到其上的线条弯曲，这一论点被 MH Pirenne 在他的《光学、绘画和摄影》（1970）中凭经验驳斥。更现代的争论是基于广角或鱼眼照片的外观，这些照片显示了投影到平面照片中的曲线，因此似乎验证了视觉空间的曲线。但在这些照片中，图像中的距离点在视野中被压缩，从而将虚拟投影中心移动到视点前面。 

无论如何，直到 19 世纪，弯曲的消失线才被提供来更好地表示长期的水平或垂直衰退。古怪的画家阿瑟·帕西（Arthur Parsey，1836 年）和业余艺术家兼天文学家威廉·赫德曼（William Herdman，1853 年）发表了透视系统，用倾斜或曲线取代了中心透视或两点透视中的平行横截面。这些系统最终形成了德国数学家吉多·豪克 (Guido Hauck)提出的主观视角1879 年。长而高的教堂内部是早期曲线透视表现中特别受欢迎的布景，正如赫德曼的这幅图画所示，这无疑是为了与许多 18 世纪荷兰完美线性透视教堂内部绘画形成鲜明对比。

曲线透视的建筑图

威廉·赫德曼 (William Herdman) 创作的罗斯林教堂内部（c.1850）

曲线透视法在 19 世纪末之后经历了一段断断续续的历史，然后在 20 世纪末复兴。在这方面具有开创性的是欧文·潘诺夫斯基（Erwin Panofsky）基于豪克数学的《作为符号形式的视角》（Perspective as Symbolic Form，1924）。法国理论家Albert Flocon和André Barre提出的La Perspective Curviligne（1967年，1987年英文出版为Curvilinear Perspective），艺术家Robert Hansen于1973年提出的“双曲”系统，以及由艺术家Robert Hansen于1973年提出的“鱼眼”或广角透视艺术家迈克尔·穆斯，1986 年。

一些文化或技术因素已被用来解释这些新系统的发展，包括 19 世纪非线性几何和复合（广角）光学的进步、赫尔曼·亥姆霍兹主观曲率的感知实验（特别是证明一系列宽间隔的点光源，在完全黑暗中垂直远离观察者，似乎遵循曲线而不是直线收敛），古希腊建筑中微妙曲率的发现，对线性透视扭曲的新兴趣，新型光的研究地图绘制投影、现代铁塔、摩天大楼和航空旅行带来的无与伦比的“广角”景观……这个清单很长。

我认为主要问题要简单得多。艺术家和科学家都提倡的文艺复兴的基本思想之一是“看”与“知”之间的基本统一。在这个传统中，线性透视与其说是观看的表现，不如说是观看和认识重叠的区域。在整个 16 世纪，数学和射影几何、透视图的程序以及测量、航海和天文学的工具和方法被视为同一基础学科的不同方面，并且其中几个主题经常在一个单独的书中一起讨论。书。

与此同时，从莱昂纳多到特纳的艺术家们都清楚地意识到线性透视在许多方面似乎无法准确记录所有视觉体验，并对此感到困扰。到了 18 世纪，欧洲文化开始认真解决色彩感知和视错觉问题，这些问题表明观看是一种心理和主观过程，与认知有​​很大不同，并且有其自身的怪癖和力量。这种认识造成了根本性的分歧，自 19 世纪末以来，这种分歧在艺术实践中不断扩大和蔓延。

一些艺术家追求视觉体验或“视觉事实”的表现，与来自感知的“认知”分开。这是许多 19 世纪“视觉”艺术家（从康斯特勃尔到莫奈再到博纳尔）的出发点，他们将自己的作品描述为复制视网膜上所能看到的一切；对于马奈、修拉或萨金特等艺术家来说，他们通过绘画视觉欺骗创造图像来分析视觉过程，表明我们所看到的（或我们如何看到的）并不代表仔细观察时“实际存在”的东西。

作为回应，其他艺术家拒绝了视觉事实，转而支持似乎是感知的经验成果的洞察力或“认识”。也就是说，他们找到了将“更高现实”表示为一种在光学或静态图像中没有明确指涉的视觉体验的方法——特别是灵性和情感的表示。这种高度多样化的传统出现在马蒂斯、康定斯基、杜尚、毕加索、波洛克、莱利、罗森奎斯特等“精神派”、“构成派”、“立体派”、“反视网膜派”、“概念派”、“非具象派”或“表现主义”艺术家中。和马丁。

在此背景下，曲线透视似乎是一种保守的反应，试图通过改变观看规则以符合三维认知的直觉来重建观看和认知之间的结合。当然，改变规则在几个世纪前提出的“光学曲线论证”中是明确的。

经过一个多世纪的争论后达成的共识是，潘诺夫斯基和其他线性透视的批评者实际上是错误的：当从透视角度用单眼观看透视图时，没有其他二维投影优于线性透视的标准方法（投影中心）。在这些条件下，透视图确实准确地捕捉到了原始场景的视角——正如 MH Pirenne 所证明的那样。出现明显的透视变形是因为未从正确的投影中心和视图方向观看图像，或者透视几何形状发生变化，或者不同的几何形状融合到单个图像中。

对我来说，这就是要点：曲线透视代表了同时向多个方向观看的状态。相比之下，我一再强调，线性透视是特定视点和观看方向的图像，一旦放松或放弃这种限制，图像很容易弯曲、流动或扭曲成不可预测的、具有高度表现力的新几何形状。

巴黎芙丝汀宝广场，8 月 7、8、9 日

大卫·霍克尼

曲线透视实际上平均或总结了单个视点的许多可能的视图，就像大卫·霍克尼从数十或数百张局部的、经过窄幅裁剪的照片中组装出图像一样。在这种背景下，曲线方法可以被认为是视觉上的融合和哲学上的“后现代”。

列奥纳多和他之后的许多其他人都指出了线性透视的“缺陷”，只是因为他们从两个或多个观察方向考虑了相同的透视情况。在文化上，我们不再倾向于将多种观点或多种观点视为对正统观念的破坏性侮辱。

下一个 :阴影、反射和氛围

最后修订时间 01.I.2023 • © 2023 Bruce MacEvoy

以线性透视绘制的方柱和瓷砖地板

与曲线透视绘制的设置相同

（摘自乌尔里希·格拉夫，1940 年）