C1 自然数 S2 数系的无限性 自然归纳法
个人心得：
数学归纳法是适用于具有无限性对象的有效证明方法，但它不是完整的，它只是一种“验证”，并没有回答“为什么”的原理性问题，反证法也有类似的性质。有些问题的证明，更多的来自于人们的直观经验，是启发式思考的结果，并不具有普遍性。这也表明，数学中的许多地方留存着人为的印记。就像《怎样解题》开头所说：
通过研究解题的方法，我们察觉到了数学的另一面。是的，数学具有两个面，它既是欧几里德的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里德方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。
摘要：
1^3+2^3+3^3+...+n^3 = [n(n+1)/2]^2 (5)
应该指出的是，一旦公式（5）写出来后，用数学归纳法证明这公式就足够了，但这证明却没有表明这个公式最初是怎么产生的。为什么表达式[n(n+1)/2]^2被人正确地猜到是前n项立方和的表达式，而不是[n(n+1)/3]^2或(19n^2-41n+24)/2或任何其他曾经被考虑过的无限多个相似类型的表达式。一个定理的证明在于应用某些简单逻辑规则，但这样一个事实并没有解释数学中的创造性的成分，而创造性在于对被考察的各种可能性作一选择。假设（5）的来源问题，属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。但是一旦叙述出正确的假设，用数学归纳法就常可提供证明。由于这样一种证明方法并没有给出发现过程的线索，把它称为验证似乎更为合适。
数学归纳法是适用于具有无限性对象的有效证明方法，但它不是完整的，它只是一种“验证”，并没有回答“为什么”的原理性问题，反证法也有类似的性质。有些问题的证明，更多的来自于人们的直观经验，是启发式思考的结果，并不具有普遍性。这也表明，数学中的许多地方留存着人为的印记。就像《怎样解题》开头所说：
通过研究解题的方法，我们察觉到了数学的另一面。是的，数学具有两个面，它既是欧几里德的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里德方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。
摘要：
1^3+2^3+3^3+...+n^3 = [n(n+1)/2]^2 (5)
应该指出的是，一旦公式（5）写出来后，用数学归纳法证明这公式就足够了，但这证明却没有表明这个公式最初是怎么产生的。为什么表达式[n(n+1)/2]^2被人正确地猜到是前n项立方和的表达式，而不是[n(n+1)/3]^2或(19n^2-41n+24)/2或任何其他曾经被考虑过的无限多个相似类型的表达式。一个定理的证明在于应用某些简单逻辑规则，但这样一个事实并没有解释数学中的创造性的成分，而创造性在于对被考察的各种可能性作一选择。假设（5）的来源问题，属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。但是一旦叙述出正确的假设，用数学归纳法就常可提供证明。由于这样一种证明方法并没有给出发现过程的线索，把它称为验证似乎更为合适。