C2 数学中的数系 S1 有理数
个人心得：
你可以涉及许多符合运算规则的符号和规则，比如，“-”负号和减法。但只有设计的规则符合现象世界观测定结果，才是有实际意义的。
数学概念的形成过程：
人们通过观察现实现象形成了各种观念，数学所做的就是给这些感觉上的概念以精确的数学形式的定义。（先有观念的形成，再有数学概念的定义。比如，人们先在感觉上认识到“反”的概念，再才在数学中定义了“负号”及负数）
而数学却不仅仅停留在这个地步，因为数学概念是抽象而普遍的，通过对不同概念的在认识，人们又可以产生新的概念，这些概念并不一定存在实际的可观察的现象，但他们却是对现实中的各种已有现象及观念的重新组合。
摘要：
a/b + c/d = (ad+bc)/bd , (a/b) * (c/d) = ac/bd ,
a/a = 1 , ac/bc = a/b . (1)
为了真正理解这些事实，我们必须再次强调有理数是我们自己的创造，而规则（1）是按我们的意志强加上去的。我们可以胡乱地宣布加法的某些规则，例如 a/b + c/d = (a+c)/(b+d)，特别的由此得到 1/2 + 1/2 = 2/4。从度量的观点来看，这是一个荒谬的结果。这种类型的规则，虽然在逻辑上是允许的，但将是我们的符合算术变成毫无意义的游戏。人们要求创造一个适合于度量的工具，在这里，思维正是顺应着这个要求而自由发挥的。
(-1)*(-1) = 1 (3)
对数学家来说，经过了很长的一段时间才认识到“符号规则”（3）以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是，在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。
你可以涉及许多符合运算规则的符号和规则，比如，“-”负号和减法。但只有设计的规则符合现象世界观测定结果，才是有实际意义的。
数学概念的形成过程：
人们通过观察现实现象形成了各种观念，数学所做的就是给这些感觉上的概念以精确的数学形式的定义。（先有观念的形成，再有数学概念的定义。比如，人们先在感觉上认识到“反”的概念，再才在数学中定义了“负号”及负数）
而数学却不仅仅停留在这个地步，因为数学概念是抽象而普遍的，通过对不同概念的在认识，人们又可以产生新的概念，这些概念并不一定存在实际的可观察的现象，但他们却是对现实中的各种已有现象及观念的重新组合。
摘要：
a/b + c/d = (ad+bc)/bd , (a/b) * (c/d) = ac/bd ,
a/a = 1 , ac/bc = a/b . (1)
为了真正理解这些事实，我们必须再次强调有理数是我们自己的创造，而规则（1）是按我们的意志强加上去的。我们可以胡乱地宣布加法的某些规则，例如 a/b + c/d = (a+c)/(b+d)，特别的由此得到 1/2 + 1/2 = 2/4。从度量的观点来看，这是一个荒谬的结果。这种类型的规则，虽然在逻辑上是允许的，但将是我们的符合算术变成毫无意义的游戏。人们要求创造一个适合于度量的工具，在这里，思维正是顺应着这个要求而自由发挥的。
(-1)*(-1) = 1 (3)
对数学家来说，经过了很长的一段时间才认识到“符号规则”（3）以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是，在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。