C1 自然数 S1 整数的计算

个人心得：

其实我们说自己会计算，只是会在位置记法表示的数下重复而单调地套用对应数制的加法表和乘法表罢了。离开位置记法，我们只会依赖直观的加法运算，这就是我们对数的先天认识。

算术的规律

由人类智慧所创造的数，可用来数各种集合中的对象的个数，它和对象所特有的性质无关。 整数的加法和乘法服从某些规律，即五个算术基本规律：

  1. a+b=b+a
  2. ab=ba
  3. a+(b+c)=(a+b)+c
  4. (ab)c=a(bc)
  5. a(b+c)=ab+ac

这五个基本规律是具有高度对称和统一性的。前两个是加法和乘法的交换律，第三四个是加法和乘法的结合律，最后一个是分配律（可以把它看作加法和乘法的统一规律）。数和数的运算规律是独立于数的表示方法存在的，即在任何表示方法下数的运算规律不变。

整数的表示

一个较大的正整数，例如＂三百七十二＂可表示为 300+70+2=310^2+710+2 的形式，而这在十进位制中用符号372表示。这里重要的是，数码符号3，7，2的意义依赖于它们在个位、十位、百位的位置。有了这个＂位置记法＂，我们用十个数码符号的各种组合就可以表示出任何整数。表示一个整数的一般规则可以用 z=a10^3+b10^2+c*10+d 来说明。这里数码a,b,c,d是从零到九的整数。这时，我们用缩写符号abcd来表示整数z。

数的表示：进位制

十进位制与其他任何进位制，没有任何一个是特殊的，均是等价的，只是＂满十进一＂的概念先入为主了。 但为何人类选择十进位制肯定是有其他原因的，但绝对不是数学原因。是由于人们用十个手指进行计算的缘故。

加法记法

类似于方框中加点的几何模型（如古代算盘），一直到中世纪的后期都被广泛地用在数值计算上，从中世纪以后，它们才逐渐被建立在十进制上的更高级的符号方法所代替。 早期的数字系统是建立在纯粹的加法规则上的。例如在罗马人的符号表示中， CXVIII=壹佰+拾+伍+壹+壹+壹。 在任何纯粹的加法记法中,有一个不方便之处，就是当数变大时需要越来越多的新符号。古代系统（例如罗马系统）的一个主要缺点是，数的计算十分困难以至于除了最简单的问题外，只有专家才能掌握。

位置记法

位置记法的优点就是容易计算。用位置记法所表示的数，其计算规则可以用这些数码的加法表和乘法表的形式来表示，而且一旦记住，便可永远运用自如。

C1 自然数 S2 数系的无限性 自然归纳法

个人心得：

数学归纳法是适用于具有无限性对象的有效证明方法，但它不是完整的，它只是一种“验证”，并没有回答“为什么”的原理性问题，反证法也有类似的性质。有些问题的证明，更多的来自于人们的直观经验，是启发式思考的结果，并不具有普遍性。这也表明，数学中的许多地方留存着人为的印记。就像《怎样解题》开头所说： 通过研究解题的方法，我们察觉到了数学的另一面。是的，数学具有两个面，它既是欧几里德的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里德方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。

摘要：

1^3+2^3+3^3+…+n^3 = [n(n+1)/2]^2 (5) 应该指出的是，一旦公式（5）写出来后，用数学归纳法证明这公式就足够了，但这证明却没有表明这个公式最初是怎么产生的。为什么表达式[n(n+1)/2]^2被人正确地猜到是前n项立方和的表达式，而不是[n(n+1)/3]^2或(19n^2-41n+24)/2或任何其他曾经被考虑过的无限多个相似类型的表达式。一个定理的证明在于应用某些简单逻辑规则，但这样一个事实并没有解释数学中的创造性的成分，而创造性在于对被考察的各种可能性作一选择。假设（5）的来源问题，属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。但是一旦叙述出正确的假设，用数学归纳法就常可提供证明。由于这样一种证明方法并没有给出发现过程的线索，把它称为验证似乎更为合适。

C1(补充) 数论 S1 素数

个人心得：

facts:

一个大于1的正整数p，它除了1和它本身外没有因子，就称它是素数。 每一个比1大的整数N只能有一种方式分解成素数的乘积。

素数的分布：

人们研究数学的能力是有限的，许多问题无法以公理系统的形式系统地证明，而是间接的利用反证法、数学归纳法，等，来间接地证明某一定理是真实的，而对应的定理的由来也或多或少是直观地猜测，如素数中的，哥德巴赫猜想，孪生素数猜想，费马大定理，等。这正如《怎样解题》里所说，展现了数学的一面：在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。

在研究素数分布所服从的规律时，数学家不再徒劳地试图去求一个产生所有素数的简单公式，或求前n个自然数中所有素数个数的简单公式，而是去寻求素数在自然数中平均分布的信息。

在自然数中单个的素数的分布是极不规则的。但如果我们把注意力集中于由比值A(n)/n给出的素数平均分布时，不规律性就消失了。这个比值所服从的简单规律，是整个数学中最著名的发现之一。 对自然数n，让我们用A(n)表示整数1，2，3，…，n中素数的个数，高斯看到比值A(n)/n近似等于1/ln(n)，而其n越大这个近似就越好。当n增加时[A(n)/n]/[1/ln(n)]趋于1，表示为：[A(n)/n]～[1/ln(n)]

C2 数学中的数系 S1 有理数

个人心得：

你可以涉及许多符合运算规则的符号和规则，比如，“-”负号和减法。但只有设计的规则符合现象世界观测定结果，才是有实际意义的。 数学概念的形成过程： 人们通过观察现实现象形成了各种观念，数学所做的就是给这些感觉上的概念以精确的数学形式的定义。（先有观念的形成，再有数学概念的定义。比如，人们先在感觉上认识到“反”的概念，再才在数学中定义了“负号”及负数） 而数学却不仅仅停留在这个地步，因为数学概念是抽象而普遍的，通过对不同概念的在认识，人们又可以产生新的概念，这些概念并不一定存在实际的可观察的现象，但他们却是对现实中的各种已有现象及观念的重新组合。

摘要：

a/b + c/d = (ad+bc)/bd , (a/b) * (c/d) = ac/bd , a/a = 1 , ac/bc = a/b . (1) 为了真正理解这些事实，我们必须再次强调有理数是我们自己的创造，而规则（1）是按我们的意志强加上去的。我们可以胡乱地宣布加法的某些规则，例如 a/b + c/d = (a+c)/(b+d)，特别的由此得到 1/2 + 1/2 = 2/4。从度量的观点来看，这是一个荒谬的结果。这种类型的规则，虽然在逻辑上是允许的，但将是我们的符合算术变成毫无意义的游戏。人们要求创造一个适合于度量的工具，在这里，思维正是顺应着这个要求而自由发挥的。 (-1)*(-1) = 1 (3) 对数学家来说，经过了很长的一段时间才认识到“符号规则”（3）以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以“证明”的。它们是我们创造出来的，为的是在保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是，在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。

C2 数学中的数系 S2 不可共度线段 无理数和极限概念

引子：

数学概念源自人们已有的对事物的观念，只是在已有认识上进行了精确的定义和抽象（源于现实，却不止于现实）。这种抽象的过程可以用下面的文字来描述。

摘要：

关于本书序言中所讲的哲学见解，在这里，我们找到了一个典型例子。我们抛弃了朴素的、“实在”的方法，即把一个数学对象看成我们谨慎地研究其性质的“自在之物”；而认为数学对象之所以存在，只在于它们的数学性质以及它们之间的相互关系。这些关系和性质完全给出了这个对象进入数学活动的领域的各个可能方面。我们放弃了数学上的“自在之物”，如同物理上放弃了观测不到的以太一样。这就是把一个物理书定义为有理端点区间套的“本质”所在。 （本段文字讲的是，人们无法给出无理数直接的定义，而是以其与有理数的关系来定义它。我们可以直观地感觉到直线上无理数点的存在，却无法给其作出定义，因为它是一个基本公理，我们接受它是因为它在直观上是合理的。）