笔记：一点透视

• 视锥框架的基本概念与名词解释
• 视觉射线法（The visual ray method）
  • 经过双折处理后的视觉射线法（The Double Fold）——定位任何一个点在画面上的位置
  • 视觉射线法的应用之一（Visual Rays and Vanishing Points）——定位任意角度摆放的物体在画面中的消失点
  • 视觉射线和”透视的基础原理”（Visual Rays and the “Principal Foundation”）——定位任何一个点在画面上的位置的另外2种方法
• 一点透视（One point perspective）
  • 对角线和单位深度（Diagonals and the Unit Depth）
  • 不相等的深度间距（Unequal Spacing in Depth）
  • 单位水平或垂直线段可以任意旋转或平移（Shifting the Unit Dimension）
  • 单位深度线段无法旋转或平移（Unit depth dimensions may not be shifted or rotated）
• 倾斜面和坡斜面（slanting & sloping planes）
• 距离和大小（distance & size）
• 缩放画面（scaling the drawing）
• 构造一个1点透视的立方体（constructing a 1PP cube）

原文地址：https://handprint.com/HP/WCL/perspect2.html

系列笔记：

1. 笔记：现实中的透视
2. 笔记：一点透视
3. 笔记：两点透视
4. 笔记：高级透视技巧

视锥框架的基本概念与名词解释

• image plane: 画面，即画本身所在的平面。
• ground plan: 地面。
• viewpoint: 视点，观察者眼睛所在的点，垂直于画面。
• direction of view: viewpoint与画面之间的垂线。
• principal point: 像主点，direction of view与画面的交点。
• field of view: 视野，观察者眼睛的视野范围，形成了视锥的角度（degree of vision cone）。
• vision cone: 视锥，观察者在特定视野范围下（如90度视野）所能看到的实际内容，其最外围构成一个空间中的圆锥体。
• view circle: 视圈，观察者在特定视野范围下（如90度视野）所能看到的实际内容在画面上的投影，其最外围构成一个圆形。
• ground line: 地线，地面与画面相交的线。
• horizon line: 地平线，地面的消失线。
• median line：中轴线，将viewpint向上翻折后与principal point相连的线。
• view distance: viewpoint与画面的距离。
• view height: viewpoint与地面的距离。
• vanishing point: 消失点，物体某条边在无穷远处收敛的消失点。
• diagonal vanishing point: 对角消失点，正方体的对角线（而不是某条边）的消失点。
• orthogonals: 纵深线，在透视中，orthogonals是指平行于direction of view的线条。
• transversals: 水平线，在透视中，transversals是指平行于ground line的线条。
• measure point：测量点，在透视中，measure points用来将measure bar或者单位长度/宽度投射到沿着vanishing point方向的同等深度。

视觉射线法（The visual ray method）

90度视锥约定了view distance与view height相等，field of view为90度，此设定下，viewpoint经过向上翻折后，正好落在view circle上面，为透视绘画提供了很多便利。

经过双折处理后的视觉射线法（The Double Fold）——定位任何一个点在画面上的位置

视觉射线法通过将viewpoint向上翻折，同时将地面向下翻折，与画面处于同一平面，我们能够便利地定位任何一个点在画面上的位置。

只需在地面仰视图上将物体按俯视角度确定其大小和位置，然后通过连接其在plan上的点与翻折后的viewpoint得到一条（较长的）直线，再将该点的垂直线与ground line（地线）的交点与vanishing point连接得到第2条（较短的）直线，这2条直线交叉的点即为该物体的某个点在画面中的位置。

这个基本用法只适用于物体离ground line和median line比较近的情况，如果物体离ground line（地线）和median line（中线）很远，就需要使用后面介绍的measure points和measure bar来定位了。

视觉射线法的应用之一（Visual Rays and Vanishing Points）——定位任意角度摆放的物体在画面中的消失点

使用视觉射线法可以轻松的找到任意物体在画面中的消失点。只需将地面仰视图上的物体平移，并将任一个顶点与向上翻折后的viewpoint重合，然后沿着顶点所在的两边中的任意一条边画延长线与视平线相交，即该物体这条边所在的平面在画面中的消失点。

实际操作中，可以使用量角器测量出地面仰视图上的物体任意一条边所在线条与direction of view（将翻折后的viewpoint与principal point相连得到的垂直线）之间的夹角，然后将量角器的中心与向上翻折后的viewpoint重合，将其0度边与direction of view重合，直接画出相等角度的线条与视平线相交，即该物体这条边所在的平面在画面中的消失点。

视觉射线和”透视的基础原理”（Visual Rays and the “Principal Foundation”）——定位任何一个点在画面上的位置的另外2种方法

定位物体在画面中的位置的第2种方法是先找到物体某条边的消失点（使用上一节Visual Rays and Vanishing Points所介绍的方法），然后将仰视图中物体的这条边的延长线与ground line相交，连接消失点和ground line上的交点得到一条直线，然后将该线条在plan上的点与向上翻折后的viewpoint相连得到第2条直线（即双折法的第1条较长的构造线条），这2条直线交叉的点即为该物体这条边在画面中的位置。

该方法同样只适用于物体离ground line和median line比较近的情况。

在物体离ground line较远（而距离median line比较近）的情况下，连接物体在地面仰视图上的点与翻折后的viewpoint就变得比较困难（线条会很长），这时可以使用第3种定位物体在画面中的位置的方法，即改用双折法的第2条（较短的）构造线条，方法是将该物体在仰视图中的一条边的两个端点(end point)的垂直线与ground line（地线）的交点与princial point(direction of view与画面的交点)相连得到一条直线。此时因为物体在地面仰视图中距离median line比较近，一个快速寻找端点(end point)垂直线与ground line（地线）的交点的方法是将ground line作为物体尺寸的测量工具（use the ground line as a ruler），根据物体在仰视图中距离median line的距离，直接在ground line上测量出交点所在的位置。

到这里我们会发现很重要的一点，the ground line is always the “actual size” ruler. ground line反应的是物体的实际大小。

结合以上3种定位物体在画面中的位置方法可以看出，只要找出以下三条线中的任意两条，都可以定位物体在画面中的位置：

1. Line between viewpoint & end points. 连接 向上翻折的viewpoint 与 仰视图中物体的这条边的端点(end point) 所得到的直线
2. Line between vanishing point & ground line intersection. 连接 物体某条边的消失点 与 仰视图中物体的这条边的延长线与ground line的交点 所得到的直线
3. Orthogonals from ground line measure points. 连接 principal point 与 仰视图中物体的这条边的端点(end point)与ground line的交点 所得到的直线

实际操作中，当物体离ground line或median line较远时，线条1和2不易构造。

Obviously the crucial step is still missing: how do we work with objects that are very far from the median line and/or ground line? These create ground line measure points and/or intersection points that cannot conveniently be located on the perspective drawing ground line. This challenge requires the artist to reduce the scale of the ground line ruler as a substitute for working with unreasonably large dimensions in actual size. This reduced ruler is called a measure bar, and its use is explained below.

最后一个关键问题是，当物体离ground line和median line都比较远的时候，以上的构造方法就不实用了。这时我们就需要用到measure bar，即一种缩小scale后的ground line ruler（后文会介绍具体使用方法）。

一点透视（One point perspective）

对角线和单位深度（Diagonals and the Unit Depth）

通过单位垂直线段得到单位深度

通过连接单位垂直线段的上端点与视锥下方的dvp（或者下端点与视锥上方的dvp）得到一条直线（即一条对角线），然后连接单位线条的另一个端点与principal point（像主点）得到第2条直线，两条线相交的点x与单位垂直线条的下端点连线与单位长度相等，即为单位深度。

通过单位水平线段得到单位深度

同样的，对于单位水平线段，可以通过连接其左端点与视锥右侧的dvp（或者右端点与视锥左侧的dvp）得到一条类似的直线（对角线），然后连接单位线条的另一个端点与principal point（像主点）得到第2条直线，两条线相交的点与单位垂直线条的连线与单位长度相等，同样可以得到单位深度。

不相等的深度间距（Unequal Spacing in Depth）

借助measure bar我们可以在画面中将任意长度转换为对应的深度，不用只局限于单位长度。

具体的步骤是：

1. 画一条水平线段；
2. 在水平线段上标记你想画的任意长度；
3. 连接measure bar上的任一measure point与对立的左侧（或者右侧）的dvp得到一条直线；
4. 连接measure bar的0刻度的点与vanishing point得到第2条直线；
5. 两条直线的交点即为该measure point对应长度在画面中的深度。

Diagonal lines from each point to the mp (这里的mp是measure point，参考两点透视文章，一点透视中mp=dvp；dvp在90度视锥的view circle上，图中展示的是60度视锥，所以dvp在视锥之外) transfer these measures into perspective depth at the points where the lines intersect the vanishing line.

单位水平或垂直线段可以任意旋转或平移（Shifting the Unit Dimension）

单位水平或垂直长度线段可以在画面中同一透视深度上任意的旋转（rotate）或平移，移动后其长度不变。

单位深度线段无法旋转或平移（Unit depth dimensions may not be shifted or rotated）

但是单位深度无法自由地反转（rotate）或平移，因为不同位置深度会因为透视而有所不同。

倾斜面和坡斜面（slanting & sloping planes）

画倾斜面的方法很简单，只需将纸张以同样角度旋转，让倾斜面看起来水平即可当作普通水平面处理。

画坡斜面的办法是，将viewpoint向视锥左（或右）侧翻折（与dvp重合），然后在dvp画一个与坡斜面相同的角度，其中一条线与视平线重合，另一条线与median line的交点即该坡斜面的slope vanishing point（斜坡消失点）。找到斜坡消失点，剩下的就很简单了。

距离和大小（distance & size）

在使用三角比例时，一个关键的前提假设是：物体尺寸 Z 和图像尺寸 z 的测量方向都必须垂直于视线方向，或者说是与图像平面平行。当情况并非如此时，图像尺寸会因为透视缩短（foreshortening）而发生变化。

物体离画面距离、占画面比例、画面尺寸速查表

下表展示了三种对象在一副从 1.6 米（63 英寸）的距离观看的图像上所对应的画面尺寸：一栋现代单层住宅（从地面到屋顶高度 20 英尺，约6.1米），代表建筑或景观；一个平均身高的男子（5 英尺 9 英寸，约1.75米），代表人物；以及一个篮球（直径 9.5 英寸，约25厘米），代表静物。

物体离画面距离、视觉角度、占画面比例速查表

下表中的视觉角度（visual angle）是居中视觉角度（centered visual angle），即是当该对象水平或垂直居中于direction of view上时所占的视觉角度（the object is centered on the direction of view）。比如对于一个高1.6的人，这里的视觉角度（visual angle）是指当direction of view正好处于人的身高一半的位置时的观察角度，而不是当人站在地面上时的视觉角度。

对应的计算公式是：

结合下图来理解这个公式，图中显示的object size为Z，假设有一个物体，它的object size为Z的2倍并且居中于direction of view放置，那么图中显示的object正好是其高度的1/2，即公式中的 1/2 object size，而arctangent[1/2 object size / object distance ]求得的就是这个物体的visual angle的一半（即图中的visual angle <1>），那么将其乘以2便可以得到object size为2Z的物体的居中视觉角度。

缩放画面（scaling the drawing）

缩放的具体步骤是：

1. 根据设想的view distance，view height，结合ground line来画出单位长度的实际大小（比如1米）；
2. 通过缩放（scaling）将实际的大小缩放相应的倍数（比如缩小10倍），令其完整的出现在所选择的format（画材）的画面中，此时我们就得到了一个单位长度在画面中特定透视深度的大小（具体深度距离可以通过scale的倍数算出来）；
3. 接下来我们就可以以画面中的该单位长度为参考，相应的画出其他尺寸的物体。

构造一个1点透视的立方体（constructing a 1PP cube）

构造1点透视的具体步骤是：

1. 确定画面中的anchor point和anchor line；
2. 根据anchor point和anchor line画出立方体的正面（如果是长方形则需要根据其实际长宽比来画）；
3. 将立方体的四个顶点与vanishing point相连（对应立方体侧面的四条边）；
4. 确定立方体的深度：
   1. 如果该立方体是正方体，则只需将立方体的四个顶点与对应方向的dvp相连，每条直线分别与上面四条直线的交点即为正方体在画面中的另外4个顶点；
   2. 如果是深度与长度或宽度不相等的立方体，则可以利用measure bar直接将与深度相等的长度或宽度映射成空间中的深度即可（无需借助dvp）。

至此得到1点透视画面中的立方体。